Circunferências inscrita e circunscrita

Cada polígono regular ${\mathcal{P}}_n$, de n lados, admite uma única circunferência circunscrita $\mathcal{C}$, que passa em todos os n vértices do polígono. O centro da circunferência $\mathcal{C}$ chama-se o centro do polígono ${\mathcal{P}}_n$.

Cada polígono regular ${\mathcal{P}}_n$, de n lados, admite uma única circunferência inscrita $\mathcal{I}$, que é tangente a cada um dos lados do polígono. O ponto de tangência com um lado é o ponto médio desse lado. O centro da circunferência $\mathcal{I}$ coincide com o centro do polígono ${\mathcal{P}}_n$.

O raio da circunferência circunscrita $\mathcal{C}$ chama-se o raio do polígono ${\mathcal{P}}_n$, enquanto que o raio da circunferência inscrita $\mathcal{I}$ chama-se o apótema do polígono ${\mathcal{P}}_n$.

Aplicação interativa

Soma dos ângulos externos e internos

A soma das medidas dos ângulos externos $\theta_i,\, i=1,...,n$ de um polígono convexo (regular ou não) de n lados, é igual a 360º ou $2\pi$ radianos. A prova está sugerida no applett ao lado cuja interpretação é clara.

Como, em cada vértice $i=1,...,n$, de um polígono convexo (regular ou não) de n lados, cada ângulo interno $\alpha_i$ é igual a (180º - medida do correspondente ângulo externo $\theta_i$, vem que

$\begin{array}{lll} \displaystyle \sum_{i=1}^n\alpha_i & = & \displaystyle \sum_{i=1}^n (180º-\theta_i) \\ &=& n 180º-\displaystyle \sum_{i=1}^n \theta_i \\ &=& n 180º-360º =(n-2) \, 180º \end{array}$

Concluindo: a soma dos ângulos internos $\alpha_i,\, i=1,...,n$ de um polígono convexo (regular ou não) de n lados, é igual a $(n-2) \, 180º$ ou $(n-2) \,\pi$ radianos.

Perímetro e área

Seja ${\mathcal{P}}_n$ um polígono regular de raio r, com de n lados. O raio da circunferência circunscrita é pois igual a r. A que é igual o comprimento $a_n$ do lado de polígono?

Pela figura ao lado, vemos que $\displaystyle\frac{a_n}{2}=r \sin\displaystyle\frac{\pi}{n}$ ( o triângulo ACE é retângulo) e portanto

$\mbox{Perímetro}({\mathcal{P}}_n) = 2nr \sin\displaystyle\frac{\pi}{n}$

Por outro lado, o apótema CE de ${\mathcal{P}}_n$ é igual a $r \cos\displaystyle\frac{\pi}{n}$. Portanto, a área do triângulo ACB é igual a $\displaystyle\frac{\left(\mbox{base} \times \mbox{altura}\right)}{2}$, isto é, é igual a $\displaystyle\frac{a_n\times \mbox{apótema}}{2}$ ou, ainda, $r^2 \sin\displaystyle\frac{\pi}{n} \cos\displaystyle\frac{\pi}{n}=\displaystyle\frac{1}{2} r^2\sin\left(\displaystyle\frac{2\pi}{n}\right)$.

Como existem ao todo n triângulos iguais que preenchem o polígono dado, a sua área é

$\mbox{Área}({\mathcal{P}}_n) = \displaystyle\frac{1}{2}n r^2\sin\left(\displaystyle\frac{2\pi}{n}\right)$.