Pêndulo de Foucault
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- Universidade do Porto
Referência Lage, E., (2018) Pêndulo de Foucault, Rev. Ciência Elem., V6(3):069
DOI http://doi.org/10.24927/rce2018.069
Palavras-chave Pêndulo de Foucault; Jean Bernard Léon Foucault;
Resumo
Qual o efeito da rotação da Terra no movimento de um pêndulo simples? Esta questão foi, primeiramente, considerada pelo físico francês Jean Bernard Léon Foucault (FIGURA 1A). Para isso, construiu, em 1851, um pêndulo com fio de 67m de comprimento na extremidade do qual colocou uma massa esférica de 30Kg, assegurando, dessa forma, um grande período de oscilação (cerca de 16s) e um fraco amortecimento devido à resistência do ar (FIGURA 1B). Colocado a oscilar, com uma pequena amplitude, verifica-se que o plano de oscilação do pêndulo roda lentamente, demonstrando, dessa forma, a rotação da Terra. O pêndulo de Foucault, como passou a ser designado, causou, na época, enorme sensação e é hoje um instrumento obrigatório em qualquer museu de ciência.
Como se justifica esta rotação do plano do pêndulo? Para um observador terrestre, somos obrigados a considerar as forças inerciais e, destas, a única que aqui importa é a força de Coriolis 1:
→Fc=−2m →ωT ×→v
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FIGURA 1. A- Léon Foucault selo comemorativo. B- Pêndulo de Foucault no Pantheón de Paris.
onde →ωT é o vetor rotação instantânea da Terra. Vemos já, embora qualitativamente, que o plano de oscilação de um pêndulo não é mais invariante: a força de Coriolis, perpendicular à velocidade, obriga este plano a rodar.
Procedamos à análise quantitativa, um pouco simplificada, considerando o caso habitual de pequenas oscilações, o
que nos irá garantir que o fio permanece tenso. Nestas condições, o movimento do pêndulo situa-se, praticamente,
no plano horizontal, onde escolhemos eixos x, tangente o paralelo dirigido para Este, e y, tangente ao
meridiano dirigido para Norte (FIGURA 2). São ambos, evidentemente, perpendiculares entre si e também
perpendiculares ao eixo vertical z. Será evidente que apenas a componente vertical de →ωT, é
responsável pela rotação do plano de oscilação. Se não houvesse a força de Coriolis, o movimento do pêndulo
seria o
de um oscilador harmónico, como se viu noutra publicação, o que significa que estaria, apenas, submetido à força
−mω20→r, onde ω0−√g/l sendo l o comprimento do pêndulo. Pela
consideração anterior, a força de Coriolis fica reduzida ao termo −2mωt senλ →ez×→v, onde λ é a latitude do lugar. Assim, as equações de movimento no plano
horizontal, são:
md2xdt2=−mω20x+2mωT senλdydt
md2ydt2=−mω20y+2mωT senλdxdt

É útil, aqui, introduzir o complexo w=x+iy. obtém-se:
d2wdt2+ω20w+2iωT senλdwdt=0
É uma equação linear, pelo que se procuram soluções da forma w∼eiωt, vindo:
−ω2+ω20−2ω ωT senλ=0
Na situação habitual, é ω0≫ωT, resultando:
ω=∓ ω0−ωT senλ
Deste modo, a solução geral para w(t) é:
w(t)=e−itωT senλ(Ae−itω0+Be−itω0)
onde A e B são constantes, complexas, determinadas pelas condições iniciais. Suponhamos, então, que estas condições são w(0)=w0≡a+ib e ˙w(0)=0, isto é, o pêndulo é largado na posição genérica x=a e y=b, com velocidade nula. obtém-se, assim:
A=ω0+ωT senλ2ω0≅12 B=ω0−ωT senλ2ω0≅12
Substituindo na expressão anterior para w(t), resulta:
w(t)=e−itωT senλ w0 cos(ω0t)
Se ωT=0, este complexo tem sempre a direção de w0, i.e, a trajetória seria sempre um segmento de reta, o que corresponde ao plano invariante do pêndulo. Mas com ωT>0, a fase do complexo cresce linearmente no tempo, i.e., a trajetória roda, no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio, o que corresponde à rotação do plano do pêndulo, como se mostra na FIGURA 3.

Tem interesse, neste contexto, analisar o valor de ωT. Como a Terra efetua uma rotação completa em 24h, poder-se-ia pensar que ωT≈2π24×3600s−1.Mas não é assim! Com efeito, um dia, i.e., 24 h é o tempo que decorre, para um observador na Terra, para o mesmo ponto do planeta se encontrar alinhado com o Sol. Mas, durante esse tempo, a Terra também se deslocou no seu movimento de translação em torno do Sol, que também é uma rotação. Para simplificar, aceitemos que este movimento é circular uniforme, realizando-se no mesmo sentido que a rotação da Terra (FIGURA 4). Então, ao fim de 24 h, a Terra rodou um pouco mais que 2π e este excesso acumula-se exatamente em 2π ao fim de um ano, quando a Terra regressa à sua posição inicial. Quer dizer, para um observador no Sol, considerado como observador inercial para quem ωT é definido, a Terra rodou 366 vezes no tempo correspondente a 365 dias terrestres, i.e., 366365 vezes po dia terrestre, pelo que:
ωT≈2π24×3600×366365s−1≈7.3×10−5 s−1

1 Com efeito, a rotação da Terra pode ser considerada uniforme e com eixo fixo em escalas de tempo da ordem de milhares de anos; os outros termos das forças inerciais, exceto Coriolis) adicionam a força centrífuga à força da gravidade, originando a definição de →g e a sua dependência na latitude.
Referências
- 1 GOLDSTEIN, H. et al., Classical Mechanics, Addison Wesley 3ª edição, 2001.
- 2 FEYNMAN, R.P. et al., The Feynman Lectures on Physics. San Francisco: Pearson/Addison-Wesley ,Vol. 1, section 12-5, 2006. ISBN 0-8053-9049-9
- 3 LANDAU, L.D. e LIFSHITZ, E.M., Mechanics. Course of Theoretical Physics. Vol. 1 (3rd ed.). Butterworth-Heinenan, pp. 128-130, 1976.
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