Como se justifica esta rotação do plano do pêndulo? Para um observador terrestre, somos obrigados a considerar as forças inerciais e, destas, a única que aqui importa é a força de Coriolis 1:


Fc=2m ωT ×v


FIGURA 1. A- Léon Foucault selo comemorativo. B- Pêndulo de Foucault no Pantheón de Paris.


onde ωT é o vetor rotação instantânea da Terra. Vemos já, embora qualitativamente, que o plano de oscilação de um pêndulo não é mais invariante: a força de Coriolis, perpendicular à velocidade, obriga este plano a rodar.

Procedamos à análise quantitativa, um pouco simplificada, considerando o caso habitual de pequenas oscilações, o que nos irá garantir que o fio permanece tenso. Nestas condições, o movimento do pêndulo situa-se, praticamente, no plano horizontal, onde escolhemos eixos x, tangente o paralelo dirigido para Este, e y, tangente ao meridiano dirigido para Norte (FIGURA 2). São ambos, evidentemente, perpendiculares entre si e também perpendiculares ao eixo vertical z. Será evidente que apenas a componente vertical de ωT, é responsável pela rotação do plano de oscilação. Se não houvesse a força de Coriolis, o movimento do pêndulo seria o de um oscilador harmónico, como se viu noutra publicação, o que significa que estaria, apenas, submetido à força mω20r, onde ω0g/l sendo l o comprimento do pêndulo. Pela consideração anterior, a força de Coriolis fica reduzida ao termo 2mωt senλ ez×v, onde λ é a latitude do lugar. Assim, as equações de movimento no plano horizontal, são:

md2xdt2=mω20x+2mωT senλdydt

md2ydt2=mω20y+2mωT senλdxdt



FIGURA 2. A escolha dos eixos locais na Terra (à esquerda) e a orientação do eixo da Terra nos eixos locais (à direita).


É útil, aqui, introduzir o complexo w=x+iy. obtém-se:


d2wdt2+ω20w+2iωT senλdwdt=0


É uma equação linear, pelo que se procuram soluções da forma weiωt, vindo:


ω2+ω202ω ωT senλ=0


Na situação habitual, é ω0ωT, resultando:


ω= ω0ωT senλ


Deste modo, a solução geral para w(t) é:


w(t)=eitωT senλ(Aeitω0+Beitω0)


onde A e B são constantes, complexas, determinadas pelas condições iniciais. Suponhamos, então, que estas condições são w(0)=w0a+ib e ˙w(0)=0, isto é, o pêndulo é largado na posição genérica x=a e y=b, com velocidade nula. obtém-se, assim:


A=ω0+ωT senλ2ω012     B=ω0ωT senλ2ω012

Substituindo na expressão anterior para w(t), resulta:


w(t)=eitωT senλ w0 cos(ω0t)


Se ωT=0, este complexo tem sempre a direção de w0, i.e, a trajetória seria sempre um segmento de reta, o que corresponde ao plano invariante do pêndulo. Mas com ωT>0, a fase do complexo cresce linearmente no tempo, i.e., a trajetória roda, no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio, o que corresponde à rotação do plano do pêndulo, como se mostra na FIGURA 3.


FIGURA 3. As primeiras oscilações do pêndulo, para os seguintes dados: Para os seguintes dados: λ = 42º N; ωT/ω0=5×103; posição inicial x=1, y=0.

Tem interesse, neste contexto, analisar o valor de ωT. Como a Terra efetua uma rotação completa em 24h, poder-se-ia pensar que ωT2π24×3600s1.Mas não é assim! Com efeito, um dia, i.e., 24 h é o tempo que decorre, para um observador na Terra, para o mesmo ponto do planeta se encontrar alinhado com o Sol. Mas, durante esse tempo, a Terra também se deslocou no seu movimento de translação em torno do Sol, que também é uma rotação. Para simplificar, aceitemos que este movimento é circular uniforme, realizando-se no mesmo sentido que a rotação da Terra (FIGURA 4). Então, ao fim de 24 h, a Terra rodou um pouco mais que 2π e este excesso acumula-se exatamente em 2π ao fim de um ano, quando a Terra regressa à sua posição inicial. Quer dizer, para um observador no Sol, considerado como observador inercial para quem ωT é definido, a Terra rodou 366 vezes no tempo correspondente a 365 dias terrestres, i.e., 366365 vezes po dia terrestre, pelo que:


ωT2π24×3600×366365s17.3×105 s1


FIGURA 4. Em 24h, a Terra não só rodou em torno do seu eixo como rodou, ligeiramente, em torno do Sol.


1 Com efeito, a rotação da Terra pode ser considerada uniforme e com eixo fixo em escalas de tempo da ordem de milhares de anos; os outros termos das forças inerciais, exceto Coriolis) adicionam a força centrífuga à força da gravidade, originando a definição de g e a sua dependência na latitude.