Da mesma forma se define o produto escalar de dois vetores $\vec u = (u_1,u_2,u_3)$ e $\vec v = (v_1,v_2,v_3)$ em $\mathbb{R}^3$:

$\quad \vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2,u_3).(v_1,v_2,v_3)=u_1 v_1+u_2 v_2+u_3 v_3 \quad$

Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, $| \vec u \cdot \vec v| \le \|\vec u\|\|\vec v\ |$, e considerando os dois vetores não nulos, deduzimos que $\displaystyle \frac{ | \vec u \cdot \vec v | }{ \| \vec u \| \| \vec v\ | } \le 1$, isto é, $\displaystyle -1 \le \frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|} \le 1$.

Portanto existe um único valor $\theta \in [0,\pi]$ tal que $\displaystyle \cos \theta=\frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\ | }$, já que a função cosseno restrita ao intervalo $[0,\pi]$ é uma função bijetiva sobre o intervalo $[-1,1]$. A este valor $\theta$ chama-se o ângulo convexo entre dois vetores não nulos $\vec u$ e $\vec v$. Considerando $\theta=(\vec u \mbox{^} \vec v) \in [0,\pi]$, esse ângulo define-se então através de:

$\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=\frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\| \|\vec v\ | }$

Daqui resulta outra expressão que nos permite determinar o produto escalar entre dois vetores,

$\quad \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\vec u \mbox{^} \vec v) \quad$

Atenção: Do produto escalar entre dois vetores resulta um número real e não um vetor.

A norma de um vetor $\ ,\vec u \in \mathbb{R}^2$ é dada por $\|\vec u\|=\sqrt{ {u_1}^2+{u_2}^2}$, $u_1$ e $u_2$ coordenadas de $\vec u$. Já a norma de um vetor $\vec u=(u_1,u_2,u_3) \in \mathbb{R}^3$ é dada por $\|\vec u\|=\sqrt{ {u_1}^2+{u_2}^2+{u_3}^2}$.

Propriedades

Vamos agora ver algumas das propriedades do produto escalar entre dois vetores, $\vec u$ e $\vec v$ não nulos:

$\mathbf{1.}\,$ Se $\vec u$ e $\vec v$ são dois vetores colineares podemos ter dois casos:

• $\vec u$ e $\vec v$ têm o mesmo sentido então $\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|$ pois

$\quad \quad \vec u$ e $\vec v$ colineares com o mesmo sentido $\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 0º \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=1 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|$.

• $\vec u$ e $\vec v$ têm sentido contrário então $\vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|$ pois

$\quad \quad \vec u$ e $\vec v$ colineares com o sentidos contrários $\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 180º \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=-1 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|$.

$\mathbf{2.}\,$ $\vec u \cdot \vec u=\|\vec u\|^2$ o que se deduz diretamente da propriedade anterior considerando $\vec u$ e $\vec u$ dois vetores colineares com o mesmo sentido.

$\mathbf{3.}\,$ $\vec u \cdot \vec v=0 \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v$.

$\quad \quad$ Neste caso temos de mostrar cada uma das implicações anteriores.

$\quad \quad \vec u \cdot \vec v=0 \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0$ mas $\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0\,$ e $\,0\le\vec u \mbox{^} \vec v\le180º \, \Rightarrow \,\vec u \mbox{^} \vec v=90º\,$ ou seja, $\vec u$ e $\vec v$ são perpendiculares.

$\quad\quad$Acabamos então de provar que se o produto escalar entre dois vetores for igual a zero então esses vetores são perpendiculares.

$\quad \quad$Já se $\vec u \perp \vec v \, \Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v=90º \, \Rightarrow \, (\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v =0$.

$\quad\quad$Provamos então que se dois vetores são perpendiculares então o produto escalar entre esses dois vetores é igual a zero.

$\quad\quad$Provadas as duas implicações provamos que $\vec u \cdot \vec v \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v$.

$\mathbf{4.}\,$ Se $\vec u \cdot \vec v < 0$ então o ângulo formado por $\vec u$ e $\vec v$ é um ângulo obtuso, ou seja, $90º < \vec u \mbox{^} \vec v < 180º$.

$\quad\quad$ Para provar esta propriedade basta verificar que se $\vec u \cdot \vec v < 0\,$ então $\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)<0$ o que implica que $\vec u \mbox{^} \vec v$ é um ângulo obtuso (de amplitude superior a $90º$ e inferior a $180º$).

$\mathbf{5.}\,$ Se $\vec u \cdot \vec v > 0$ então o ângulo formado por $\vec u$ e $\vec v$ é ângulo agudo, ou seja, $0º < \vec u \mbox{^} \vec v < 90º$.

$\quad\quad$ Verifica-se que se $\vec u \cdot \vec v > 0\,$ então $\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)>0$ o que implica que $\vec u \mbox{^} \vec v$ é um ângulo agudo (de amplitude superior a $0º$ e inferior a $90º$).

$\mathbf{6.}\,$ $\vec u \cdot \vec v=\vec v \cdot \vec u$.

$\mathbf{7.}\,$ $k(\vec u \cdot \vec v)=(k\vec u) \cdot \vec v = \vec u \cdot (k \vec v)$, para todo o $k \in \mathbb{R}$.

$\mathbf{8.}\,$ Propriedade distributiva do produto escalar em relação à adição de vetores, $\vec u \cdot (\vec v+\vec w)=\vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w$.

$\mathbf{9.}\,$ Desigualdade de Cauchy-Schwarz: $|\vec u \cdot \vec v| \le \|\vec u\| \|\vec v\|$.