Qual a equação cartesiana desta recta?

Como se sabe da geometria analítica plana, a equação da recta que une os pontos A e B é:

$\displaystyle y-f(a)=\frac{f(a+h)}{(a+h)-a}(x-a)$

ou:

$\displaystyle y=f(a)+ \Delta_af(h)\, (x-a)$

Portanto o declive desta recta, isto é, a tangente do ângulo positivo que esta recta faz com a parte positiva do eixo dos xx, é igual à taxa média de variação de f em a.

Qual a posição limite desta recta quando $\displaystyle h\to 0$?

Quando $\displaystyle h\to 0$ a taxa média de variação de f em a, $\displaystyle \Delta_af$,converge para a taxa instantânea de variação de f em a, isto é, converge para a derivada f'(a) de f em a (supondo que esta existe).

Portanto a recta que une A e B tem uma posição limite que não é mais do que a recta tangente ao gráfico de f no ponto $\displaystyle A=(a,f(a))$. A respectiva equação é obtida a partir da equação anterior em , fazendo $\displaystyle h\to 0$:

$\displaystyle y=f(a)+ f'(a) (x-a)$

O declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto $\displaystyle A=(a,f(a))$, é pois igual à derivada $\displaystyle f'(a)$ de f em a.

Considere ainda os pontos seguintes:

$\displaystyle B=(a+h,f(a+h))$, no gráfico de f e $\displaystyle B'=(a+h,f(a)+f'(a)\,h)$, na recta tangente ao gráfico de f no ponto $\displaystyle A(a,f(a))$

A diferença das ordenadas destes dois pontos é igual a:

$\displaystyle f(a+h)- [f(a)+f'(a)\,h]$

e esta diferença é cada vez mais pequena quanto mais próximo de 0 estiver o "acréscimo" h. Neste sentido podemos pois dizer que o valor exacto é aproximadamente igual a $\displaystyle f(a)+f'(a)\,h$, sendo esta aproximação cada vez mais precisa quanto mais pequeno é o valor de h:

$\displaystyle f(a+h) \approx f(a)+ f'(a)h$

Mais concretamente: se definirmos o erro $\displaystyle e(a;h)$ através da diferença:

$\displaystyle e(a;h) \doteq f(a+h)- [f(a)+ f'(a)h ]$

podemos dizer que:

$\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{e(a;h)}{h}=0$

Diz-se então que o erro $\displaystyle e(a;h)$ é um infinitésimo de ordem superior a h.

A diferencial da função f no ponto a, é a função $\displaystyle df_a:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ que a cada acréscimo $\displaystyle h \in \mathbb{R}$ associa o valor

$\displaystyle df_a\doteq f'(a)\cdot h$. É pois uma função linear em $\displaystyle h$ - de facto a função linear que melhor aproxima f em a, no sentido em que:

$\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac {(f(a+h)-f(a))- df_a(h)}{h}=0$

que não é mais do que a versão formal do que se disse antes, e que se presta a generalização.