Qual a equação cartesiana desta recta?

Como se sabe da geometria analítica plana, a equação da recta que une os pontos A e B é:

yf(a)=f(a+h)(a+h)a(xa)

ou:

y=f(a)+Δaf(h)(xa)

Portanto o declive desta recta, isto é, a tangente do ângulo positivo que esta recta faz com a parte positiva do eixo dos xx, é igual à taxa média de variação de f em a.

Qual a posição limite desta recta quando h0?

Quando h0 a taxa média de variação de f em a, Δaf,converge para a taxa instantânea de variação de f em a, isto é, converge para a derivada f'(a) de f em a (supondo que esta existe).

Portanto a recta que une A e B tem uma posição limite que não é mais do que a recta tangente ao gráfico de f no ponto A=(a,f(a)). A respectiva equação é obtida a partir da equação anterior em , fazendo h0:

y=f(a)+f(a)(xa)

O declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto A=(a,f(a)), é pois igual à derivada f(a) de f em a.

Considere ainda os pontos seguintes:

B=(a+h,f(a+h)), no gráfico de f e B=(a+h,f(a)+f(a)h), na recta tangente ao gráfico de f no ponto A(a,f(a))

A diferença das ordenadas destes dois pontos é igual a:

f(a+h)[f(a)+f(a)h]

e esta diferença é cada vez mais pequena quanto mais próximo de 0 estiver o "acréscimo" h. Neste sentido podemos pois dizer que o valor exacto \displaystyle f(a+h) é aproximadamente igual a f(a)+f(a)h, sendo esta aproximação cada vez mais precisa quanto mais pequeno é o valor de h:

f(a+h)f(a)+f(a)h

Mais concretamente: se definirmos o erro e(a;h) através da diferença:

e(a;h)f(a+h)[f(a)+f(a)h]

podemos dizer que:

limh0e(a;h)h=0

Diz-se então que o erro e(a;h) é um infinitésimo de ordem superior a h.

A diferencial da função f no ponto a, é a função dfa:RR que a cada acréscimo hR associa o valor

dfaf(a)h. É pois uma função linear em h - de facto a função linear que melhor aproxima f em a, no sentido em que:

limh0(f(a+h)f(a))dfa(h)h=0

que não é mais do que a versão formal do que se disse antes, e que se presta a generalização.