Diferencial
📧
- Faculdade de Ciências da Universidade do Porto
Referência Tavares, J.N., (2018) Diferencial, Rev. Ciência Elem., V6(1):088
DOI http://doi.org/10.24927/rce2018.088
Palavras-chave Diferencial
Resumo
Dada uma função f:D⊆R⟶R «», suponha que existe a derivada de f num ponto a, interior ao domínio de f. Considere os pontos A(a,f(a)) e B(a+h,f(a+h)) e, com h≠0, ambos sobre o gráfico de f, e a recta que os une.
Qual a equação cartesiana desta recta?
Como se sabe da geometria analítica plana, a equação da recta que une os pontos A e B é:
y−f(a)=f(a+h)(a+h)−a(x−a)
ou:
y=f(a)+Δaf(h)(x−a)
Portanto o declive desta recta, isto é, a tangente do ângulo positivo que esta recta faz com a parte positiva do eixo dos xx, é igual à taxa média de variação de f em a.
Qual a posição limite desta recta quando h→0?
Quando h→0 a taxa média de variação de f em a, Δaf,converge para a taxa instantânea de variação de f em a, isto é, converge para a derivada f'(a) de f em a (supondo que esta existe).
Portanto a recta que une A e B tem uma posição limite que não é mais do que a recta tangente ao gráfico de f no ponto A=(a,f(a)). A respectiva equação é obtida a partir da equação anterior em , fazendo h→0:
y=f(a)+f′(a)(x−a)
O declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto A=(a,f(a)), é pois igual à derivada f′(a) de f em a.
Considere ainda os pontos seguintes:
B=(a+h,f(a+h)), no gráfico de f e B′=(a+h,f(a)+f′(a)h), na recta tangente ao gráfico de f no ponto A(a,f(a))
A diferença das ordenadas destes dois pontos é igual a:
f(a+h)−[f(a)+f′(a)h]
e esta diferença é cada vez mais pequena quanto mais próximo de 0 estiver o "acréscimo" h. Neste sentido podemos pois dizer que o valor exacto é aproximadamente igual a f(a)+f′(a)h, sendo esta aproximação cada vez mais precisa quanto mais pequeno é o valor de h:
f(a+h)≈f(a)+f′(a)h
Mais concretamente: se definirmos o erro e(a;h) através da diferença:
e(a;h)≐f(a+h)−[f(a)+f′(a)h]
podemos dizer que:
limh→0e(a;h)h=0
Diz-se então que o erro e(a;h) é um infinitésimo de ordem superior a h.
A diferencial da função f no ponto a, é a função dfa:R⟶R que a cada acréscimo h∈R associa o valor
dfa≐f′(a)⋅h. É pois uma função linear em h - de facto a função linear que melhor aproxima f em a, no sentido em que:
limh→0(f(a+h)−f(a))−dfa(h)h=0
que não é mais do que a versão formal do que se disse antes, e que se presta a generalização.
Este artigo já foi visualizado 2159 vezes.