Potências de expoente nulo

Tendo em conta a propriedade anterior somos obrigados a convencionar que a potência de expoente zero de qualquer número, ou seja $a^0$, é sempre igual a $1$ uma vez que:

$a^0 \times a^n=a^{0+n}=a^n \, \Rightarrow \, a^0=1$

Atenção

• Quando $a=0$ e $n<0$ não se define $0^n$. Por exemplo, $0^3=0$ mas não se define $0^{-4}$ como número real;
• Não se define $0^0$.

Potências de expoente inteiro negativo

Uma vez definidas as potências de expoente inteiro positivo e expoente zero procuramos agora definir as potências de expoente inteiro negativo.Para isso, consideremos novamente a propriedade enunciada anteriormente temos então que:

$a^{-n} \times a^n=a^{-n+n}=a^0=1$ donde podemos concluir que $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Potência da potência

Considerando o produto de várias potências e a validade da propriedade das potências nesse caso, podemos então estabelecer a seguinte igualdade,

$a^m \times a^n \times a^p \times a^q=a^{m+n+p+q}$.

Em particular, tomando um produto de $s$ fatores iguais a $a^m$, obtemos, $a^m \times a^m \times \dots \times a^m=(a^m)^s=a^{m \times s}=a^{ms}$, ou seja,

$(a^m)^s=a^{ms}$.

Potências de expoente fracionário

Procuramos agora estender a definição de potência de um número real positivo de modo a incluir os expoentes fracionários da forma $\displaystyle f=\frac{r}{s}$, $r \in \mathbb{Z}$ e $s \in \mathbb{Z^+}$. Assim, tendo em conta a propriedade enunciada, a potência de expoente fracionário define-se como:

$(a^{r/s})^s=a^{(r/s) \times s}=a^r$ , ou seja, $\displaystyle a^{r/s}=\sqrt[s]{a^r}$.

Daqui concluímos que $\displaystyle a^{1/s}=\sqrt[s]{a}$.

Acabamos de definir a potência, $a^n$, de um número real positivo, $a$, para expoentes inteiros e fracionários, ou seja, a potência $a^n$ está assim definida para $n \in \mathbb{Q}$.

Potências de expoente irracional

Definidas as potências para expoentes racionais, discute-se de seguida o significado de uma potência de expoente irracional. Podemos definir, de uma forma satisfatória, uma potência de expoente irracional, aproximando esse expoente com números racionais. Por exemplo, podemos definir $5^\sqrt{2}$ tomando as seguintes aproximações racionais para o número irracional $\sqrt{2}$:

$1,4;\, 1,41;\, 1,414;\, 1,4142;\, 1,41421;\,$ etc.

Tomamos então os números $5^{1,4} ; 5^{1,41} ; 5^{1,414} ; 5^{1,4142} ; 5^{1,41421}$ etc, como valores aproximados de $5^\sqrt{2}$. Assim, quanto mais próximo o número racional $r$ esteja de $\sqrt{2}$, mais próximo estará $5^r$ de $5^\sqrt{2}$.

Ver também

• Logarítmos
• Função exponencial
• Função logarítmica