Propriedades

As provas de cada uma das propriedades que se seguem, consideram que \(L\) é uma função estritamente crescente. Quando \(L\) é uma função estritamente decrescente, as provas são análogas.

1) Injetividade: Uma função logarítmica é sempre injetiva, ou seja, números positivos diferentes têm logaritmos diferentes.

Considerando x e y esses números, podemos então ter que \(x<\mathit{y}\) ou \(x > y\). Se \(x<\mathit{y}\) resulta da propriedade A) que \(L\left ( x \right )<\mathit{L\left ( y \right )}\). Da mesma forma, se \(x > y\) então \(L\left ( x \right )>L\left ( y \right )\). Nos dois casos, considerando \(x\neq y\) temos que \(L\left ( x \right )\neq L\left ( y \right )\).


2) Logaritmo de 1: O logaritmo de 1 é zero, pois da propriedade B) resulta que,

\(L\left ( 1 \right )=L\left ( 1\times 1 \right )=L\left ( 1 \right )+L\left ( 1 \right )\) logo \(L\left ( 1 \right )=0\).


3) Os números maiores do que 1 têm logaritmos positivos e os números positivos menores do que 1 têm logaritmos negativos.

Sendo L uma função crescente, consideremos \(0<\mathit{x}<1<\mathit{y}\). Temos então que \(L\left ( x \right )<\mathit{L}\left ( 1 \right )<\mathit{L}\left ( y \right )\), isto é, \(L\left ( x \right )<\mathit{}0<\mathit{L}\left ( y \right )\).


4) Para todo \(x > 0\) tem-se \(L(1/x) = −L(x)\).

Considerando \(x\) e \(1/x\) temos que, \(x\cdot \left ( 1/x \right )=1\), donde pelas propriedades B) e 3), temos \(L\left ( x \right )+L\left ( 1/x \right )=L\left ( 1 \right )=0\). Portanto, concluímos que L(1/x) = −L(x).


5) Para quaisquer \(x,y\in \mathbb{R}^{+}\) tem-se \(L\left ( x/y \right )=L\left ( x \right )-L\left ( y \right )\).

Esta propriedade decorre imediatamente da propriedade anterior, pois

\(L\left ( x/y \right )=L\left ( x \cdot \left ( 1/y \right )\right )=L\left ( x \right )+L\left ( 1/y \right )=L\left ( x \right )-L\left ( y \right )\).


6) Para todo \(x\in \mathbb{R}^{+}\) e para todo o número racional \(r = p/q\) tem-se \(L\left ( x^{r} \right )=r\cdot L\left ( x \right )\).

Comecemos por notar que a propriedade A) se estende a um produto de um qualquer número de fatores: \(L\left ( x_{1}\times ... \times x_{n} \right )=L\left ( x_{1} \right )+L\left ( x_{2} \right )+...+L\left ( x_{n} \right )\)..

Em particular, se \(n\in \mathbb{N}\) temos que:

\(L\left ( x^{n} \right )=L\left ( x\times ... \times x \right )=L\left ( x \right )+L\left ( x \right )+...+L\left ( x \right )=n\cdot L\left ( x \right )\).


e fica assim a propriedade provada para \(r\) número natural.

Para \(r = 0\) está provado, uma vez que, \(x^{0}=1\), logo \(L\left ( x^{0} \right )=L\left ( 1 \right )=0=0\cdot L\left ( x \right )\).

Considerando \(r\) um número inteiro negativo, \(r=-n\) com \(n\in \mathbb{N}\), temos pelas propriedades das potências que \(x^{n}\cdot x^{-n}=1\). Logo, \(L\left ( x^{n} \right )\cdot L\left ( x^{-n} \right )=L\left ( 1 \right )=0\), concluímos então que \(L\left ( x^{-n} \right )=-L\left ( x^{n} \right )=-n\cdot L\left ( x \right )\).

Finalmente, para \(r\) um número racional, \(r = p/q\) temos que \(\left ( x^{r} \right )^{q}=\left ( x^{p/q} \right )^{q}=x^{p}\). Pelo provado anteriormente sabemos então que

\(q\cdot L\left ( x^{r} \right )=L\left ( \left ( x^{r} \right )^{q} \right )=L\left ( x^{p} \right )=p\cdot L\left ( x \right )\).


Concluímos então que \(q\cdot L\left ( x^{r} \right )=p\cdot L\left ( x \right )\) donde resulta que \(L\left ( x^{r} \right )=\left ( p/q \right )\cdot L\left ( x \right )\), ou seja, \(L\left ( x^{r} \right )=r\cdot L\left ( x \right )\).


Inversa da função logarítmica

Recordemos que a inversa da função exponencial de base \(a\) é a função \(\mathit{log}_{a}x:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}\), que associa a cada número real positivo \(x > 0\) o número real \(\mathit{log}_{a}\), chamado logaritmo de \(x\) na base \(a\). Por definição de função inversa temos então que:

\(a^{log_{a}x}=x\) e \(log_{a}\left ( a^{x} \right )=x\)


Portanto, \(log_{a}x\) é o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número \(x\):

\(y=log_{a}x\Leftrightarrow a^{y}=x\).


Em seguida, vamos provar que para toda a função logarítmica L, com as propriedades anteriormente definidas, existe \(a > 0\) tal que \(L\left ( x \right )=log_{a}x\), para todo \(x\in \mathbb{R}^{+}\).

Suponhamos que \(L\) é uma função estritamente crescente (o caso em que é estritamente decrescente é tratado igualmente).

Vamos admitir para já que \(L\left ( a \right )=1\) para um certo \(a\in \mathbb{R}^{+}\), que é único. Veremos depois que esta hipótese não é restritiva.

Como \(L\) é uma função estritamente crescente, e L\left ( 1 \right )=0<\mathit{}1=L\left ( a \right ), deduzimos que \(a > 1\). Para todo \(m\in \mathbb{N}\) temos que:

\(L\left ( a^{m} \right )=L\left ( a\times a\times ... \times a \right )=L\left ( a \right )+L\left ( a \right )+...+L\left ( a \right )=1+1+...+1=m\).


\(0=L\left ( 1 \right )=L\left ( a^{m}\cdot a^{-m} \right )=L\left ( a^{m} \right )+L\left ( a^{-m} \right )\) donde concluímos que \(L\left ( a^{-m} \right )=-m\). Se \(r = m/n\) com \(m\in \mathbb{N}\) e \(n\in \mathbb{N}\) então \(rn = m\), e portanto, \(m=L\left ( a^{m} \right )=L\left ( \left ( a^{r} \right )^{n} \right )=n\cdot L\left ( a^{r} \right )\) donde concluímos que \(L\left ( a^{r} \right )=\frac{m}{n}=r\).

Finalmente se \(x\) for um número irracional, então, tomando \(r\) e \(s\) dois números racionais arbitrários tais que \(r<\mathit{}x<\mathit{}s\), temos que, uma vez que \(a > 1\), \(r<\mathit{}x<\mathit{}s\Rightarrow a^{r}<\mathit{}a^{x}<\mathit{}a^{s}\Rightarrow L\left ( a^{x} \right )<\mathit{}L\left ( a^{s} \right )\Rightarrow r<\mathit{}L\left ( a^{x} \right )<\mathit{}s\).

Como \(r\) e \(s\) são arbitrários, segue-se por enquadramento de limites e por unicidade do limite, que \(L\left ( a^{x} \right )=x\) para todo \(x\in \mathbb{R}\).

Portanto, \(L\left ( y \right )=log_{a}y\) para todo \(y > 0\).

Vejamos agora que a hipótese anteriormente assumida de que \(L\left ( a \right )=1\), para um certo \(L\left ( a \right )=1\), que é único, não é restritiva.

Consideremos então o caso geral, em que temos uma função estritamente crescente \(L:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}\). Então \(L\left ( xy \right )=L\left ( x \right )+L\left ( y \right )\), e como \(1<\mathit{}2\) devemos ter que \(0=L\left ( 1 \right )<\mathit{}L\left ( 2 \right )=b\), isto é, \(b > 0\). Seja \(M:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}\) uma nova função, definida por \(M\left ( x \right )=L\left ( x \right )/b\).

Esta função é também estritamente crescente, transforma somas em produtos e cumpre \(M\left ( 2 \right )=1\). Logo, pela primeira parte da demonstração, tem-se \(M\left ( x \right )=log_{2}x\) para todo \(x > 0\). Portanto, para todo \(x > 0\) temos, \(x=2^{M\left ( x \right )}=2^{L\left ( x \right )/b}=\left ( 2^{1/b} \right )^{L\left ( x \right )}=a^{L\left ( x \right )}\), onde \(a=2^{1/b}\).

Tomando \(log_{a}x\) de ambos os membros da igualdade anterior, \(x=a^{L\left ( x \right )}\), vem finalmente \(log_{a}x=L\left ( x \right )\).


Base da função logarítmica

Na secção anterior provamos que uma qualquer função logarítmica, \(L\left ( x \right )\), é sempre igual ao logaritmo de \(x\) numa base a, onde \(L\left ( a \right )=1\).


Mudança de base

Consideremos \(L_{a}\) e \(L_{b}\) duas funções logarítmicas com bases \(a\) e \(b\), respetivamente. A fórmula que nos permite efetuar a mudança de base é a seguinte:

\(L_{a}\left ( x \right )=L_{a}\left ( b \right )\cdot L_{b}\left ( x \right )\).


Por exemplo, tomando a qualquer e \(b = 2\), e fazendo \(t=L_{a}\left ( x \right )\) e \(\nu =L_{2}\left ( x \right )\), então \(a^{t}=x\) e \(2^{\nu}=x\). Se escrevermos \(c=L_{a}\left ( 2 \right )\) sabemos que é equivalente a \(a^{c}=2\), logo, \(x=a^{t}=2^{\nu}=\left ( a^{c} \right )^{\nu}=a^{c\nu}\) portanto \(t=c\nu\) , isto é, \(L_{a}\left ( x \right )=L_{a}\left ( 2 \right )\cdot L_{2}\left ( x \right )\) para todo \(x > 0\).

Aplicando o mesmo raciocínio, podemos concluir que a igualdade:

\(L_{a}\left ( x \right )=L_{a}\left ( b \right )\cdot L_{b}\left ( x \right )\) é válida em geral.