Fórmula Fundamental da Trigonometria

A Fórmula Fundamental da Trigonometria é uma consequência direta da aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da figura 1. Assim,

$(\mbox{hipotenusa})^2 = (\mbox{cateto oposto})^2+(\mbox{cateto adjacente})^2$

Usando as letras da figura obtemos,

$c^2=a^2+b^2$

Dividindo ambos os membros da equação por $a^2\neq 0$ concluímos, então, que $1=\displaystyle \left(\frac{a} {c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$, isto é,

$$\qquad \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\qquad$$

Outras relações

Considerando agora a divisão das razões trigonométricas $\sin\alpha$ e $\cos\alpha$ obtemos, $\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = {\Large\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}}=\frac{a}{b}=\tan\alpha$, isto é,

$$\quad\tan\alpha=\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\qquad$$

Olhando novamente para a fórmula fundamental da trigonometria, $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, e aplicando a ambos os membros da mesma uma divisão por $\,\cos^2\alpha\,$ obtemos mais uma relação trigonométrica:

$$\qquad\tan^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha}\qquad$$

No exemplo a cima podemos verificar mais algumas relações trigonométricas, neste caso, entre os dois ângulos agudos do triângulo retângulo representado, $\alpha$ e $\beta$.

Resulta facilmente do facto da soma dos ângulos internos de um triângulo ser $180º$ que $\alpha+\beta=90º$.

Como se mostra na figura:

$$\sin\alpha=\displaystyle\frac{a}{c}=\cos\beta=\cos(90º-\alpha)\qquad$$	$$\qquad\sin\alpha = \cos(90º-\alpha)\qquad$$
$$\cos\alpha=\displaystyle\frac{b}{c}=\sin\beta=\sin(90º-\alpha)\qquad$$	$$\qquad\cos\alpha = \sin(90º-\alpha)\qquad$$