Raízes de índice $n$

Determinar as raízes de índice $n \in \mathbb{N}$ de um número complexo $w$, ou seja calcular $\sqrt[n]{w}$ é então equivalente a determinar os números complexos $z$ tais que:

$z^n=w$

Para isso consideramos os números complexos $z$ e $w$ na forma polar:

$w=|w|\,cis\,\alpha$

$z=|z|\,cis\,\theta$

Usando a fórmula de De Moivre temos então que

$\displaystyle z^n=w \quad \Leftrightarrow \quad (|z|\,cis\,\theta)^n=|w|\,cis\,\alpha \quad \Leftrightarrow \quad |z|^n\,cis\,(n\theta)=|w|\,cis\,\alpha$

Resolvendo a equação temos, atendendo à igualdade dos números complexos escritos na forma polar, que

$|z|^n=|w| \Longrightarrow \,|z|=\sqrt[n]{w}=|w|^{1/n}$

e

$\displaystyle n\theta=\alpha+2k\pi \, \Longleftrightarrow \, \theta=\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n} , \quad k=0,1,2,\dots,n-1$.

Portanto, as $n$ raízes distintas de índice $n$ de um número complexo $w=a+bi=|w|\,cis\,\alpha$ são dadas por:

$\displaystyle z_{k}=|w|^{1/n}\, cis\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right) , \quad k=0,1,2,\dots,n-1$ (1),

logo têm o mesmo módulo pelo que pertencem à circunferência de centro na origem no referencial e raio $|z|=|w|^{1/n}$. Note-se ainda que a diferença entre os argumentos de duas raízes $z_k$ e $z_{k+1}$, $\quad k=0,1,2,\dots,n-1$, é $\displaystyle \frac{2k\pi}{n}$, logo, as $n$ raízes situam-se nos vértices de um polígono regular de $n$ lados inscritos na referida circunferência.

Exemplos

Raízes cúbicas de -1

Considerando $w=-1$ queremos então determinar $\sqrt[3]{-1}$, ou seja, encontrar os números complexos $z=|z|\,cis\,\theta$ tal que $z^3=w$, isto é, $z^3 = -1$.

Para isso temos de escrever $w = -1$ na forma polar:

$-1=|w|\,cis\,\alpha \,\Longleftrightarrow \, -1=|w|\cos\alpha+i\,|w|\sin\alpha \, \Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow\, |w|\cos\alpha=-1 \,\wedge \,|w|\sin\alpha =0 \,\Longleftrightarrow\, \, |w|=1 \,\wedge\, \alpha=\pi$

Portanto, $w=\, cis\, \pi$.

Aplicando a fórmula (1) obtemos três raízes cujo módulo é $\displaystyle |z|=\sqrt[3]{1}=1 \,$ e argumento $\displaystyle \theta_k=\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3} \, , \quad k=0,1,2$, isto é,

$\displaystyle |z|=1 \, \wedge \, \left(\theta=\frac{\pi}{3} \, \vee \, \theta=\pi \, \vee \, \theta=\frac{5\pi}{3}\right)$

As raízes cúbicas de $-1$ são então:

$z_0$ $\displaystyle =\, cis\, \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \, ; \quad$ $z_1$ $\displaystyle=\, cis\, \pi=-1 \, ; \quad$ $z_3$ $\displaystyle =\, cis\, \left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Raízes de índice 4 de $w=\sqrt{3}+i$

Considerando $w=\sqrt{3}+i$ pretendemos determinar $\sqrt[4]{\sqrt{3}+i}$, ou seja, encontrar os números complexos $z=|z|\,cis \,\theta$ tais que $z^4=w$.

Mais uma vez precisamos de escrever $w$ na sua forma polar:

$\sqrt{3}+i=|w|\,cis\,\alpha \,\Longleftrightarrow \, \sqrt{3}=|w|\cos\alpha \, \wedge \, 1=|w|\sin\alpha \, \Longleftrightarrow$

$\displaystyle \Longleftrightarrow |w|=\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} \, \wedge \, |w|=\frac{1}{\sin\alpha}$

$|w| = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + 1} = \sqrt{4} = 2$ e $\sqrt{3} + i = 2 cis\alpha = 2\cos\alpha + 2i\sin\alpha$

Então,

$\displaystyle 2\cos\alpha = \sqrt{3} \Longleftrightarrow \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle 2\sin\alpha = 1 \Longleftrightarrow \sin\alpha = \frac{1}{2}$

donde $\displaystyle\alpha = \frac{\pi}{6}$

Portanto, $\displaystyle w=2\,cis\,\frac{\pi}{6}$.

Aplicando a fórmula (1) temos então que as raízes têm módulo $\displaystyle |z|=\sqrt[4]{2} \,$ e argumento $\displaystyle \theta_k =\frac{\pi/6}{4}+\frac{2k\pi}{4} \, , \quad k=0,1,2,3$, isto é, $\displaystyle |z|=\sqrt[4]{2} \, \wedge \, \left(\theta=\frac{\pi}{24} \, \vee \, \theta=\frac{13\pi}{24} \, \vee \, \theta=\frac{25\pi}{24} \, \vee \, \theta=\frac{37\pi}{24}\right)$

As raízes de índice 4 de $\sqrt{3}+i$ são, então:

$z_0$ $\displaystyle =\sqrt[4]{2} \, cis\, \left(\frac{\pi}{24}\right) \cong 1,18+0,16i \, ; \quad$ $z_1$ $\displaystyle =\sqrt[4]{2} \, cis\, \left(\frac{13\pi}{24}\right) \cong -0,16+1,18i \, ; \quad$
$z_2$ $\displaystyle =\sqrt[4]{2} \, cis\, \left(\frac{25\pi}{24}\right) \cong -1,18-0,16i \, ; \quad$ $z_3$ $\displaystyle =\sqrt[4]{2} \, cis\, \left(\frac{37\pi}{24}\right) \cong 0,16-1,18i$