Diagrama de Venn
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- Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa
Referência Martins, E.G.M., (2014) Diagrama de Venn, Rev. Ciência Elem., V2(1):020
DOI http://doi.org/10.24927/rce2014.020
Palavras-chave Diagrama; Venn;
Resumo
Dá-se o nome de diagrama de Venn a todo o diagrama que possibilita a visualização de propriedades e de relações entre um número finito de conjuntos.
Os diagramas de Venn são representados por linhas fechadas, desenhadas sobre um plano, de forma a representar os conjuntos e as diferentes relações existentes entre conjuntos e elementos.
Exemplo:
Considerando o conjunto dos números naturais \(\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\cdots\}\), sejam U o conjunto dos números naturais até 25 e \(\rm A\) e \(\rm B\), respetivamente, os conjuntos dos números primos até 25 e números pares até 25:
\[\rm{A}=\{2,3,5,7,11,13,17,19,23\}, \, \rm{B}=\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24\}\]
Recorrendo à utilização de Diagramas de Venn podemos visualizar os conjuntos anteriores, assim como as seguintes operações:
- Interseção entre A e B
- Reunião entre A e B
- Diferença entre A e B ou complementar relativo de A em B (A\B ou A-B)
- Complementar da reunião entre A e B
\(\quad \rm{A}\cap\rm{B}=\{2\}\)
\(\quad \rm{A}\cup\rm{B}=\{2,3,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14,16,17,18,19,20,22,23,24\}\)
\(\quad \rm{A}-\rm{B}=\{3,5,7,11,13,17,19,23\}\)
\(\quad \overline{\rm{A\cup B}}:=\)U\(- \left(\rm{A}\cup\rm{B}\right) = \{1,9,15,21,25\}\)
Observação:
Dado um conjunto \(\rm{M}\) o seu conjunto complementar pode ser designado simbolicamente por \(\rm{\bar{M}}\), \(\rm{M^C}\) e C\(\rm{M}\).
Em Estatística utilizam-se diagramas de Venn para visualizar o espaço de resultados e os acontecimentos associados a um fenómeno aleatório. Para representar o espaço de resultados S utiliza-se um retângulo e no seu interior regiões fechadas para representar os acontecimentos \(\rm{A}\), \(\rm{B}\),...
Consideremos, por exemplo, a experiência aleatória que consiste em verificar o sexo dos filhos das famílias com 2 filhos. O espaço de resultados é constituído pelos resultados S \(= \rm{\{ MM, MF, FM, FF \} }\). Seja \(A\) o acontecimento “Pelo menos um dos filhos é do sexo masculino”. Representando num diagrama de Venn, temos
Notas históricas
Os diagramas de Venn foram desenvolvidos pelo matemático britânico John Venn.
Materiais relacionados disponíveis na Casa das
Ciências:
- Números reais, de Cláudia Maria Diegues Araújo;
- Conjuntos, de Casa das Ciências.
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