Consideremos que um fluido incompressível (de densidade \( \rho\) se move num tubo rígido, de secção variável. A massa de fluido \( \Delta m_1\) que atravessa uma secção reta \(S_1\) no intervalo de tempo \(\Delta t\) é dada pela expressão:


\[ \Delta m_1 = \rho S_1 v_1 \Delta t = \rho Q_1 \Delta t\]


em que \(v_1\) é a componente da velocidade do fluido que é perpendicular à secção reta \( S_1\). Reparemos que \(Q_1 = S_1 v_1 \) é o caudal volumétrico.


No mesmo intervalo de tempo, a quantidade de massa (\( \Delta m_2\) que atravessa outra secção reta \(S_2\) do tubo é:


\[\Delta m_2 = \rho S_2 v_2 \Delta t = \rho Q_2 \Delta t\]

com \(v_2\) a representar a componente da velocidade de fluido perpendicular a \(S_2\). Reparemos que \(v_1\) e \(v_2\) têm o mesmo sentido.


Admitindo que não há fontes nem sorvedouros de fluido no tubo e lembrando que o fluido é incompressível, toda a massa que atravessa a secção \(S_1\) num dado intervalo de tempo vai ter que atravessar, no mesmo intervalo de tempo, a secção \(S_2\), pelo que:


\[ \Delta m_1 = \Delta m_2 \Leftrightarrow Q_1 = Q_2 \]


A última expressão constitui a formulação matemática da equação de continuidade.


Como \( S_1\) e \(S_2\) são duas secção retas arbitrárias, conclui-se que o caudal, medido em qualquer secção de um tubo num dado intervalo de tempo, é constante.

Figura 1. Representação esquemática de um tubo com secção reta variável. O volume de fluido que atravessa cada uma das secções retas é dado pela multiplicação da secção reta pela altura do cilindro \(v \Delta t\).