Para provar a lei dos senos, usamos o facto conhecido (Proposição 20 do livro III dos Elementos de Euclides) de que a medida de um ângulo inscrito numa circunferência (isto é, um ângulo cujo vértice está sobre a circunferência e os lados contêm duas cordas da circunferência), é igual a metade da medida do ângulo ao centro (ou arco) que subtende a mesma corda ou metade da amplitude do arco $AB$.

Consideremos de novo a circunferência circunscrita ao triângulo $ABC$, e seja $r$ o seu raio.

Temos que: $\angle AOB=2\angle ACB=2\gamma$.

Baixemos, a partir de $O$, a perpendicular que bisseta o lado $AB$. Temos então que

$\sin\gamma=\displaystyle \frac{c}{2}r$

o que implica que $\displaystyle \frac{c}{\sin\gamma}=2r=\mbox{constante}$

que é uma constante, constante esta que é independente de $c$ e $\gamma$. Fazendo exatamente o mesmo procedimento para os dois outros lados e ângulos internos, obtemo

$\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=\displaystyle\frac{b}{\sin\beta}=\displaystyle\frac{c}{\sin\gamma}=2r$

como se pretendia.

Num triângulo inscrito numa circunferência de diâmetro igual a 1, o comprimento de cada lado é igual ao seno do ângulo oposto.

Com efeito, neste caso, a lei do senos diz que

$\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=\displaystyle\frac{b}{\sin\beta}=\displaystyle\frac{c}{\sin\gamma}=1$

donde se deduz que

$a=\sin\alpha, b=\sin\beta$ e $c=\sin\gamma$.

Consideremos o triângulo $ROP$ inscrito numa circunferência de raio igual a 1, que se ilustra na imagem ao lado. Se $\angle AOP=2\theta$, então $\angle ARP=\theta$.

Aplicando a lei dos senos ao triângulo $ROP$, obtemos

$\displaystyle \frac{RP}{\sin(180º-2\theta)}=\displaystyle \frac{OP}{\sin\theta}=\displaystyle \frac{1}{\sin\theta}$

uma vez que $OP=1$, donde se deduz que

$\sin 2\theta=RP\, \sin \theta$,

uma vez que

$\sin(180º-2\theta)=\sin\theta$.

Por outro lado, do triângulo $RSO$, retângulo em $S$, obtemos que

$\cos\theta=\displaystyle \frac{RS}{RO}=\displaystyle \frac{(RP/2)}{1}=\displaystyle \frac{RP}{2}$,

o que implica que

$RP=2\cos\theta$.

Substituindo $RP$ na fórmula $\sin 2\theta=RP\, \sin \theta$, acima deduzida, obtemos uma fórmula do seno do ângulo duplo:

$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$