Demonstração


Figura 2.

Para provar a lei dos senos, usamos o facto conhecido (Proposição 20 do livro III dos Elementos de Euclides) de que a medida de um ângulo inscrito numa circunferência (isto é, um ângulo cujo vértice está sobre a circunferência e os lados contêm duas cordas da circunferência), é igual a metade da medida do ângulo ao centro (ou arco) que subtende a mesma corda ou metade da amplitude do arco \(AB\).


Figura 3.

Consideremos de novo a circunferência circunscrita ao triângulo \(ABC\), e seja \(r\) o seu raio.

Temos que: \(\angle AOB=2\angle ACB=2\gamma\).

Baixemos, a partir de \(O\), a perpendicular que bisseta o lado \(AB\). Temos então que

\(\sin\gamma=\displaystyle \frac{c}{2}r\)

o que implica que \(\displaystyle \frac{c}{\sin\gamma}=2r=\mbox{constante}\)

que é uma constante, constante esta que é independente de \(c\) e \(\gamma\). Fazendo exatamente o mesmo procedimento para os dois outros lados e ângulos internos, obtemo

\(\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=\displaystyle\frac{b}{\sin\beta}=\displaystyle\frac{c}{\sin\gamma}=2r\)

como se pretendia.


Aplicações


Aplicação 1

Figura 4.

Num triângulo inscrito numa circunferência de diâmetro igual a 1, o comprimento de cada lado é igual ao seno do ângulo oposto.

Com efeito, neste caso, a lei do senos diz que

\(\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=\displaystyle\frac{b}{\sin\beta}=\displaystyle\frac{c}{\sin\gamma}=1\)

donde se deduz que

\(a=\sin\alpha, b=\sin\beta\) e \(c=\sin\gamma\).


Fórmulas de duplicação

Figura 5.

Consideremos o triângulo \(ROP\) inscrito numa circunferência de raio igual a 1, que se ilustra no applet ao lado. Se \(\angle AOP=2\theta\), então \(\angle ARP=\theta\).

Aplicando a lei dos senos ao triângulo \(ROP\), obtemos

\(\displaystyle \frac{RP}{\sin(180º-2\theta)}=\displaystyle \frac{OP}{\sin\theta}=\displaystyle \frac{1}{\sin\theta}\)

uma vez que \(OP=1\), donde se deduz que

\(\sin 2\theta=RP\, \sin \theta\),

uma vez que

\(\sin(180º-2\theta)=\sin\theta\).

Por outro lado, do triângulo \(RSO\), retângulo em \(S\), obtemos que

\(\cos\theta=\displaystyle \frac{RS}{RO}=\displaystyle \frac{(RP/2)}{1}=\displaystyle \frac{RP}{2}\),

o que implica que

\(RP=2\cos\theta\).

Substituindo \(RP\) na fórmula \(\sin 2\theta=RP\, \sin \theta\), acima deduzida, obtemos uma fórmula do seno do ângulo duplo:

\(\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)


Fazendo um raciocínio análogo, aplicado agora ao triângulo \(RQP\), retângulo em \(Q\), obtemos as fórmulas do cosseno do ângulo duplo:

\(\cos 2\theta=2\cos^2\theta -1 = \cos^2\theta-\sin^2\theta\)