Fórmula de Euler (números complexos)

Revista de

Ciência Elementar

Volume 2, número 1, Março de 2014

Referência Ramos, F., (2014) Fórmula de Euler (números complexos), Rev. Ciência Elem., V2(1):115

DOI http://doi.org/10.24927/rce2014.115

Palavras-chave Fórmula; Euler; números; complexos;

Chama-se Fórmula de Euler à expressão:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$ ,

onde $x$ é um número real qualquer e o número $i = \sqrt{-1}$ é a unidade imaginária

NOTA

Da expressão $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ , deduz-se que $e^{-ix}=\cos\left(-x\right)+i\sin\left(-x\right)=\cos x-i\sin x$ .

Deste modo, temos:

adicionando membro a membro as expressões $e^{ix}=\cos x+i\sin x\:\:$ e $\:\:e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ , obtém-se:

$\cos x=\displaystyle\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ ,

subtraindo membro a membro as expressões $e^{ix}=\cos x+i\sin x\:\:$ e $\:\:e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ , obtém-se:

$\sin x=\displaystyle\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ .

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