Fórmula de Euler (números complexos)
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- Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa
Referência Ramos, F., (2014) Fórmula de Euler (números complexos), Rev. Ciência Elem., V2(1):115
DOI http://doi.org/10.24927/rce2014.115
Palavras-chave Fórmula; Euler; números; complexos;
Resumo
Chama-se Fórmula de Euler à expressão:
\(e^{ix}=\cos x+i\sin x\),
onde \(x\) é um número real qualquer e o número \(i = \sqrt{-1}\) é a unidade imaginária
NOTA
Da expressão \(e^{ix}=\cos x+i\sin x\), deduz-se que \(e^{-ix}=\cos\left(-x\right)+i\sin\left(-x\right)=\cos x-i\sin x\).
Deste modo, temos:
- adicionando membro a membro as expressões \(e^{ix}=\cos x+i\sin
x\:\:\) e \(\:\:e^{-ix}=\cos x-i\sin x\), obtém-se:
\(\cos x=\displaystyle\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\),
- subtraindo membro a membro as expressões \(e^{ix}=\cos x+i\sin
x\:\:\) e \(\:\:e^{-ix}=\cos x-i\sin x\), obtém-se:
\(\sin x=\displaystyle\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\).
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