Diz-se que \(K\), com essas operações, constitui um corpo quando se verificam as seguintes propriedades:

1) Propriedades da adição

a) Propriedade comutativa: \(\forall \alpha \, \text{,} \beta \in K:\quad \alpha + \beta = \beta + \alpha\)

b) Propriedade associativa: \(\forall \alpha \, \text{,} \beta \, \text{,} \gamma \in K:\quad (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)\)

c) Existência de elemento neutro: \(\exists 0 \in K:\quad 0 + \alpha = \alpha \, \text{,} \forall \alpha \in K \)

d) Existência de simétricos: \(\forall \alpha \in K \, \text{,} \exists -\alpha \in K:\quad \alpha +(-\alpha) = 0\)

2) Propriedades da multiplicação

a) Propriedade comutativa: \(\forall \alpha \, \text{,} \beta \in K:\quad \alpha \beta = \beta \alpha \)

b) Propriedade associativa: \(\forall \alpha \, \text{,} \beta \, \text{,} \gamma \in K:\quad (\alpha \beta)\gamma = \alpha(\beta \gamma) \)

c) Existência de elemento neutro: \(\exists 1 \in K\backslash \{0\}:\quad 1\alpha = \alpha \, \text{,} \forall \alpha \in K \)

d) Existência de inversos:\(\forall \alpha \in K\backslash \{0\} \, \text{,} \exists \displaystyle\frac{1}{\alpha} \in K: \quad \displaystyle\alpha \frac{1}{\alpha} = 1\)

3) Propriedade (distributiva) de ligação

\(\forall \alpha \, \text{,} \beta \, \text{,} \gamma \in K:\quad (\alpha + \beta)\gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma\)

Exemplos

Entre os exemplos mais usuais de corpos contam-se: o conjunto \(\mathbb{R}\), dos números reais, com as operações habituais de adição e multiplicação; o conjunto \(\mathbb{Q}\), dos números racionais, com as operações habituais; o conjunto \(\mathbb{C}\), dos números complexos, com as operações habituais. Quando se diz apenas “o corpo dos números reais” (resp.: números racionais, números complexos), subentende-se que se consideram as operações usuais.

Mas é possível definir muitos outros corpos. Assim, por exemplo, podemos construir um corpo no conjunto \(K = \{0,1,2\}\), definindo as operações de adição e multiplicação através das seguintes tabelas:

A propriedade 2)c) da definição acima exige que um corpo tenha pelo menos dois elementos distintos. Mas mesmo com um conjunto apenas com dois elementos é possível construir um corpo: sendo \(K = \{0,1\}\), definimos as operações através das seguintes tabelas: