Se representarmos o resultado da observação da variável quantitativa, sobre todos os elementos da população, por \({\rm{x_{1}}}\), \({\rm{x_{2}}}\), ..., \({\rm{x_{N}}}\), e o valor médio por \({\rm{\mu}}\), então a variância populacional obtém-se a partir da expressão

\[{\rm{\sigma}^{2}} =\frac{\sum \limits_{ {\rm {i}}={\rm {1}}}^{ {\rm {N} } }{\rm {(x}_{ {\rm {i} } } - {\rm{\mu} } { \rm{ )} }^{ {\rm {2} } } } }{ {\rm {N} } } \]

Como se identifica população com a variável aleatória, correspondente à característica em estudo sobre a população (desde que quantitativa), tanto se pode falar em variância da população como da variável aleatória.

Mais genericamente, se tivermos uma variável aleatória X discreta (com um número finito ou infinito numerável de valores distintos) em que a distribuição de probabilidades é o conjunto {\({\rm{x_{i} } },{\rm{p_{i} } }\)}, i=1, 2, ...,M ou {\({\rm{x_{i} } },{\rm{p_{i} } }\)}, i=1, 2, ..., com valor médio \({\rm{\mu}}\), então

\[\sigma^{2} = \sum\limits_{\rm {i}}^{} ({\rm {(x}_{ {\rm {i} } } } - \mu)^{2} \times {\rm{p_{i}}} \quad \quad \quad \rm{ou} \quad \quad \quad Var(X) = E\{(X- E(X))^2\} \]

admitindo-se que a série converge.

Por exemplo, se considerarmos a população constituída pelo número de irmãos de todos os 28 alunos da turma A do 8º ano da escola ABC, no ano letivo 2011-2012,

\(1 \quad \quad 2 \quad \quad 1 \quad \quad 0 \quad \quad 2 \quad \quad 3 \quad \quad 2 \quad \quad 1 \quad \quad 1 \quad \quad 4 \quad \quad 2 \quad \quad 1 \quad \quad 0 \quad \quad2 \quad \quad 1 \quad\)

\(\quad 1 \quad \quad 3 \quad \quad 2 \quad \quad 3 \quad \quad 1 \quad \quad 1 \quad \quad 2 \quad \quad 1 \quad \quad 3 \quad \quad 2 \quad \quad 1 \quad \quad 0 \quad \quad 1\)

podemos falar na variável aleatória X, que representa o “número de irmãos” de um aluno escolhido ao acaso na referida turma, com a seguinte distribuição de probabilidades:

Então, o valor médio da população ou da variável aleatória X será igual a 1,6, donde a variância populacional virá

\[\sigma^{2}= \frac{(1-1,6)^{2} + (2-1,6)^{2} + (1-1,6)^{2} + ... + (1-1,6)^{2}}{28} = 0,96\]

ou

\[\sigma^{2}= (0-1,6)^{2} \times \frac{3}{28} + (1-1,6)^{2} \times \frac{12}{28} + (2-1,6)^{2} \times \frac{8}{28} + (3-1,6)^{2} \times \frac{4}{28} + (4-1,6)^{2} \times \frac{1}{28} = 0,96\]

A característica populacional variância representa-se pela letra grega \({\rm{\sigma^{2}}}\), mas se precisarmos de identificar que se refere à variável aleatória X, representamos por Var(X). É uma medida de dispersão ou variabilidade da distribuição de probabilidade da variável aleatória.

Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a da variável. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que a variável, tomamos a raiz quadrada da variância e tem-se o desvio padrão populacional que é a medida que geralmente se utiliza para medir a variabilidade da variável relativamente à medida de localização valor médio.

A variância amostral \({\rm{s^{2}}}\) utiliza-se como estimativa do parâmetro \({\rm{\sigma^{2}}}\).