Por outras palavras, uma sucessão $\left(u_n \right)$, de números reais não nulos, é uma progressão geomética se e só se a razão (ou quociente) entre dois termos consecutivos é constante. Esta constante $r , r\neq 0$, é a razão:

$\displaystyle \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3}= \cdots = \frac{u_{n+1}}{u_n} = \cdots = r$

Isto é, cada termo é a média geométrica dos dois termos vizinhos imediatos:

$u_2=\pm\sqrt{u_1\cdot u_3}, \quad u_3 =\pm\sqrt{u_2\cdot u_4}, \quad u_4=\pm\sqrt{u_3\cdot u_5}, \cdots ,\quad u_{n}=\pm\sqrt{u_{n-1}\cdot u_{n+1}} , \cdots$

Exemplos:

• $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \cdots , \frac{1}{2^n}, \cdots$ é a progressão geométrica de razão $\displaystyle r = \frac{1}{2} < 1 \quad {\rm{e}} \quad u_{1} = \frac{1}{2}$.

• $1, -1, 1, -1 , \cdots, (-1)^{n-1} \cdots$ é a progressão geométrica de razão $\displaystyle r = -1 \quad {\rm{e}} \quad u_{1} = 1$.

Como se calcula a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de razão $r\neq 1$?

Seja $S_n=u_1+u_2+u_3+ \cdots +u_{n-1} + u_n$ a soma pretendida.

Note que:

$\begin{array}{lll} u_1&=&u_1\\ u_2&=&u_1\cdot r\\ u_3 &=& u_2\cdot r = u_1 \cdot r^2\\ \vdots & & \vdots \\ u_n &=& u_{n-1}\cdot r = u_1 \cdot r^{n-1}\\ \end{array}$

Consideremos agora a soma $S_n$:

$\begin{array}{lll} S_n&=& u_1+u_2+u_3+\cdots+u_{n-1} + u_n \\ &=& u_1+ru_1+r^2u_1+\cdots+r^{n-1}u_1\\ &=& u_1(1+r +r^2 +\cdots+r^{n-1}) \end{array}$

Multipliquemos ambos os membros por $r$:

$rS_n=u_1(r+r^2 +r^3 +\cdots+r^{n})$

e,finalmente, subtraíamos membro a membro, para obter:

$\begin{array}{lll} S_n-rS_n&=& u_1(1+r +r^2 +\cdots+r^{n-1}) -u_1(r+r^2 +r^3 +\cdots+r^{n}) \\ &=& u_1(1-r^n) \end{array}$

Portanto, se $r\neq 1$, vem finalmente que:

$\displaystyle S_n= u_1\cdot\frac{1-r^n}{1-r}$.

Exemplo

A soma dos $n$ primeiros termos da progressão geométrica $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \cdots , \frac{1}{2^n}, \cdots$, é $\displaystyle S_n= \frac{1}{2}\frac{1-\left(\frac{1}{2} \right)^n}{1-\frac{1}{2}} = 1- \left(\frac{1}{2} \right)^n$

Nota

• Se considerarmos $r = 0$, obtemos a sucessão em que $u_{2} = \cdots = u_{n} = \cdots = 0$, que se pode considerar uma progressão geométrica degenerada. A soma dos $n$ primeiros termos da respetiva sucessão é $S = u_{1}$.

• Se considerarmos $r = 1$, obtemos a sucessão constante em que $u_{1} = u_{2} = \cdots = u_{n} = \cdots$, que é uma progressão aritmética de razão nula. A soma dos $n$ primeiros termos da respetiva sucessão é $S = nu_{1}$.

• Notemos que se $|r| \leq 1 \quad \displaystyle \lim_{n\to + \infty}r^n = 0$ pelo que $\displaystyle \lim_{n\to + \infty}S_n= \frac{u_1}{1-r}$