Por outras palavras, uma sucessão \( \left(u_n \right)\), de números reais não nulos, é uma progressão geomética se e só se a razão (ou quociente) entre dois termos consecutivos é constante. Esta constante \(r , r\neq 0\), é a razão:


\(\displaystyle \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3}= \cdots = \frac{u_{n+1}}{u_n} = \cdots = r\)


Isto é, cada termo é a média geométrica dos dois termos vizinhos imediatos:


\(u_2=\pm\sqrt{u_1\cdot u_3}, \quad u_3 =\pm\sqrt{u_2\cdot u_4}, \quad u_4=\pm\sqrt{u_3\cdot u_5}, \cdots ,\quad u_{n}=\pm\sqrt{u_{n-1}\cdot u_{n+1}} , \cdots \)


Exemplos:

  • \(\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \cdots , \frac{1}{2^n}, \cdots\) é a progressão geométrica de razão \(\displaystyle r = \frac{1}{2} < 1 \quad {\rm{e}} \quad u_{1} = \frac{1}{2}\).
  • \(1, -1, 1, -1 , \cdots, (-1)^{n-1} \cdots \) é a progressão geométrica de razão \(\displaystyle r = -1 \quad {\rm{e}} \quad u_{1} = 1 \).

Como se calcula a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de razão \( r\neq 1 \)?

Seja \(S_n=u_1+u_2+u_3+ \cdots +u_{n-1} + u_n\) a soma pretendida.

Note que:

\(\begin{array}{lll} u_1&=&u_1\\ u_2&=&u_1\cdot r\\ u_3 &=& u_2\cdot r = u_1 \cdot r^2\\ \vdots & & \vdots \\ u_n &=& u_{n-1}\cdot r = u_1 \cdot r^{n-1}\\ \end{array}\)

Consideremos agora a soma \(S_n\):

\(\begin{array}{lll} S_n&=& u_1+u_2+u_3+\cdots+u_{n-1} + u_n \\ &=& u_1+ru_1+r^2u_1+\cdots+r^{n-1}u_1\\ &=& u_1(1+r +r^2 +\cdots+r^{n-1}) \end{array}\)

Multipliquemos ambos os membros por \(r\):

\(rS_n=u_1(r+r^2 +r^3 +\cdots+r^{n})\)

e,finalmente, subtraíamos membro a membro, para obter:

\(\begin{array}{lll} S_n-rS_n&=& u_1(1+r +r^2 +\cdots+r^{n-1}) -u_1(r+r^2 +r^3 +\cdots+r^{n}) \\ &=& u_1(1-r^n) \end{array}\)

Portanto, se \(r\neq 1\), vem finalmente que:

\(\displaystyle S_n= u_1\cdot\frac{1-r^n}{1-r}\).


Exemplo

A soma dos \(n\) primeiros termos da progressão geométrica \(\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \cdots , \frac{1}{2^n}, \cdots\), é \(\displaystyle S_n= \frac{1}{2}\frac{1-\left(\frac{1}{2} \right)^n}{1-\frac{1}{2}} = 1- \left(\frac{1}{2} \right)^n \)


Nota

  • Se considerarmos \(r = 0\), obtemos a sucessão em que \(u_{2} = \cdots = u_{n} = \cdots = 0\), que se pode considerar uma progressão geométrica degenerada. A soma dos \(n\) primeiros termos da respetiva sucessão é \(S = u_{1}\).
  • Se considerarmos \(r = 1\), obtemos a sucessão constante em que \(u_{1} = u_{2} = \cdots = u_{n} = \cdots \), que é uma progressão aritmética de razão nula. A soma dos \(n\) primeiros termos da respetiva sucessão é \(S = nu_{1}\).
  • Notemos que se \(|r| \leq 1 \quad \displaystyle \lim_{n\to + \infty}r^n = 0\) pelo que \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty}S_n= \frac{u_1}{1-r}\)