O perímetro de uma circunferência C de raio r, pode ser calculado como limite dos perímetros de duas sequências de polígonos regulares, a primeira com polígonos regulares inscritos em C e a segunda com polígonos regulares circunscritos a C, à medida que o número de lados n aumenta para , como mostra o applet.


Seja pn o perímetro de um polígono regular com n lados, cada um com comprimento an, inscrito em C, e Pn o perímetro de um polígono regular com n lados, cada um com comprimento bn, circunscrito a C. Portanto, pn=nan e Pn=nbn.

As figuras (ilustram o caso n = 7) permitem deduzir facilmente que an=2rsinπn e que bn=2Rnsinπn, onde Rn=CA é o raio do polígono circunscrito, atendendo a que o triângulo ACE é retângulo

É claro que

  • limnRn=r
  • a sucessão de perímetros (pn)n é crescente
  • a sucessão de perímetros (Pn)n é decrescente
  • pnPn

Assim ambos os limites limnpn e limnPn existam e são iguais:


perímetro da circunferênciaC=limnpn=limnPn


De facto, usando o limite conhecido limx0sinxx=1, podemos provar que os limites acima referidos são ambos iguais a 2πr, como seria de esperar.