Derivada da função \(\sin\)

Quando a variável \(x\) é expressa em radianos

Vamos usar a fórmula \(\sin p-\sin q=2 \cos \displaystyle \frac{p+q}{2} \sin\displaystyle \frac{p-q}{2}\), válida quer \(p\) e \(q\) sejam expressos em graus ou radianos.

Suponhamos que \(x\) e \(h\) são ambos expressos em radianos. Vem, então, usando os Limites notáveis que

\( \begin{eqnarray} \displaystyle \sin'(x)=\frac{d \sin}{dx} (x) &=& \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\nonumber\\ &=& \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\displaystyle 2 \cos\left(x+\frac{h}{2}\right) \sin\displaystyle \frac{h}{2} }{h}\nonumber\\ &=& \displaystyle \lim_{h\to 0} \displaystyle \cos\left(x+\frac{h}{2}\right) \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\displaystyle \frac{h}{2} }{\displaystyle\frac{h}{2}}\nonumber\\ &=& (\cos x)\times 1. \end{eqnarray} \)

Concluindo,

\(\displaystyle \sin'(x)=\frac{d \sin}{dx} (x)=\cos x\).

Aplicação interativa

Mas atenção que esta fórmula é válida apenas quando \(x\) e \(h\) são ambos expressos em radianos. Só assim é que conseguimos garantir que \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\displaystyle \frac{h}{2} }{\displaystyle\frac{h}{2}}=1\).

Quando a variável \(x\) é expressa em graus

Vamos usar de novo a fórmula \(\sin p-\sin q=2 \cos \displaystyle \frac{p+q}{2} \sin\displaystyle \frac{p-q}{2}\), válida quer \(p\) e \(q\) sejam expressos em graus ou radianos.

Suponhamos que \(x\) e \(h\) são ambos expressos em graus. Vem, então, que

\( \begin{eqnarray} \displaystyle \sin'(xº)=\frac{d \sin}{dx} (xº) &=& \displaystyle \lim_{hº\to 0}\frac{\sin(xº+hº)-\sin xº}{hº}\nonumber\\ &=& \displaystyle \lim_{hº\to 0}\frac{\displaystyle 2 \cos\left(xº+\frac{hº}{2}\right) \sin\displaystyle \frac{hº}{2} }{hº}\nonumber\\ &=& \displaystyle \lim_{hº\to 0} \displaystyle \cos\left(xº+\frac{hº}{2}\right) \displaystyle \lim_{hº\to 0}\frac{\sin\displaystyle \frac{hº}{2} }{\displaystyle\frac{hº}{2}}\nonumber\\ &=& (\cos xº)\times \displaystyle\frac{\pi}{180º}. \end{eqnarray} \)

Concluindo,

\(\displaystyle \sin'(xº)=\frac{d \sin}{dx} (xº)=\displaystyle\frac{\pi}{180º}\cos xº\)

já que, como vimos nos Limites notáveis, quando \(h\) é expresso em graus \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\displaystyle \frac{h}{2} }{\displaystyle\frac{h}{2}}=\displaystyle\frac{\pi}{180º}\).

Note que este resultado é bem mais complicado do que o anterior, devido ao aparecimento do factor extra \(\displaystyle\frac{\pi}{180º}\). Por isso há toda a conveniência em exprimir \(x\) em radianos, para que a derivada tenha uma expressão mais simples: \(\sin'(x)=\cos x\).

Derivada da função \(\cos\)

Consideremos a variável \(x\) expressa em radianos.

Podemos fazer uma dedução direta, usando a definição de derivada, e cálculos em tudo análogos aos que foram feitos para calcular a derivada de \(\sin\), quando \(x\) e \(h\) são ambos expressos em radianos. O resultado é

\(\cos'(x)=-\sin x\)

No entanto, é mais simples usar relações trigonométricas e a regra de derivação de função composta (regra da cadeia). Usamos, por exemplo, a relação trigonométrica \(\cos x=\sin\left( \displaystyle\frac{\pi}{2}-x \right)\). Vem então que

\(\cos'(x)=-\sin'\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x \right)=-\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x \right) =-\sin x\)

Derivada da função \(\tan\)

Usamos a regra de derivação de um quociente \(\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right) = \displaystyle \frac{f'g-fg'}{g^2} \), desde que as derivadas existam e o quociente faça sentido (aqui usámos óbvias simplificações de notação). Como \(\displaystyle \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), vem, com \( x \neq \left( 2k + 1 \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\), que

\(\displaystyle \tan' x=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'= \displaystyle \frac{\sin'(x) \cos(x)-\sin(x)\cos'(x)}{\cos^2(x)} = \displaystyle \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x) }{\cos^2(x)}= \displaystyle \frac{1}{\cos^2(x)}=\sec^2(x) \)

Aplicação interativa