Uma medida de Probabilidade \(\rm{P}\) é uma função de conjunto, isto é, definida em A, que a cada elemento \(\rm A\) pertencente a A associa um número real que se chama Probabilidade de \(\rm A\) e se representa por \(\rm{P(A)}\), satisfazendo as seguintes condições ou axiomas:

1º axioma - A probabilidade de qualquer acontecimento é maior ou igual a zero

\({\rm{P}}{\rm{(A) ≥ 0}}\).

2º axioma - A probabilidade do acontecimento certo \(\rm S\), é 1:

\({\rm{P(S) = 1}}\).

3º axioma - Dados dois acontecimentos disjuntos, a probabilidade da sua união é igual à soma das probabilidades de cada um

Se \({\rm{A}{\rm{\cap}}{\rm{B}} = \emptyset\quad\Rightarrow\quad {\rm{P(A \cup B)}} = {\rm{P(A) + P(B)}}}\)

No caso de S não ser finito, a condição c) é substituída pela condição

c*) Se \(\rm{A_1}\), \(\rm{A_2}\), \(\rm{A_3}\), ... pertencem a A então \(\bigcup\limits_{ {\rm{i} } = {\rm{1}}}^\infty { { {\rm{A} }_{\rm{i} } } } \) também pertence a face="Curlz MT">A

e o 3º axioma é substituído pelo seguinte axioma:


3º axioma* - Se \(\rm{A_1}\), \(\rm{A_2}\), \(\rm{A_3}\), ... são acontecimentos disjuntos dois a dois, então

\({\rm{P(}}\bigcup\limits_{ {\rm{i} } = {\rm{1}}}^\infty { { {\rm{A} }_{\rm{i} } } }{\rm{)} } = \sum\limits_{ {\rm{i} } = {\rm{1}}}^\infty { {\rm{P(} }{ {\rm{A} }_{\rm{i}}}{\rm{)}}}\)

Os axiomas anteriores são conhecidos como a axiomática de Kolmogorov.

A probabilidade frequencista, laplaciana e subjetiva, verificam a axiomática de Kolmogorov.

Como consequência da axiomática anterior, resultam as seguintes propriedades para a Probabilidade, que facilmente se ilustram com a ajuda de diagramas de Venn e se demonstram a seguir:


Propriedades da Probabilidade

1. Probabilidade do acontecimento impossível, \({\rm{P}}(\emptyset)=0\)

pois \({\rm{S}}= \left({\rm{S}} \cup \emptyset \right)\) e como \({\rm{S}}\) e \(\emptyset\) são disjuntos, pelo 3º axioma vem \[\rm P\left({\rm{S}} \cup \emptyset \right) = \rm P\left({\rm{S}}\right) + \rm P\left(\emptyset\right)\]
\(\quad \quad \quad \quad \quad \ = 1\).

2. Probabilidade do acontecimento complementar, \({\rm{P}}(\bar{\rm{A}})=1- {\rm{P(A)}}\)


pois \({\rm{S}} = {\rm{A}} \cup \bar{\rm{A}}\) e como \({\rm{A}}\) e \(\bar{\rm{A}}\) são disjuntos vem \[\rm P\left({\rm{A}} \cup \bar{ {\rm{A} } }\right) = \rm P\left(\rm{A}\right) + \rm P\left(\bar{\rm{A}}\right)\]
\(\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ = 1\).

3. Se \({\rm{A} }\) implica \({\rm{B} }\) (ver Operações com acontecimentos), ou seja, \({\rm{A}} \subseteq {\rm{B}}\), então \({\rm{P(A)} } \leq {\rm{P(B)} }\)


pois \({\rm{B}} = {\rm{A}} \cup {\rm{(B - A)}}\) e como \({\rm{A}}\) e \({\rm{(B-A)}}\) são disjuntos vem:


\(\rm P\left({\rm{B}}\right) = \rm P\left(\rm{A}\right) + \rm P\left({\rm{(B-A)}}\right)\)
\(\quad \quad \quad \ \geq \rm P\left({\rm{A}}\right)\) porque \(\rm P\left({\rm{(B-A)}}\right)\geq 0\) pelo 1º axioma.

4. Para qualquer acontecimento \({\rm{A}}\), tem-se \(0 \leq \rm{P(A)} \leq 1\)
Esta propriedade é consequência da propriedade anterior, dado que \({\rm{A}} \subseteq {\rm{S}}\).


5. Dados dois acontecimentos \({\rm{A}}\) e \({\rm{B}}\) quaisquer, tem-se \({\rm{P(A-B)}}= {\rm{P(A)-P(A \cap B)}}\)


pois \({\rm{A}}= {\rm{(A-B)}}\cup {\rm{(A\cap B)}}\), com \({\rm{(A-B)}}\) e \({\rm{A \cap B}}\) disjuntos.


6. A probabilidade da união de dois acontecimentos \({\rm{A}}\) e \({\rm{B}}\) quaisquer é \({\rm{P(A \cup B)}}= {\rm{P(A)}}+{\rm{P(B)}}-{\rm{P(A\cap B)}}\)


pois \({\rm{A \cup B}}= {\rm{(A-B)\cup(A\cap B)\cup(B-A)} }\), com \({\rm{(A-B)} }\), \({\rm{A\cap B}}\) e \({\rm{(B-A)} }\) disjuntos dois a dois e tendo em consideração a propriedade anterior.


Esta fórmula generaliza-se ao caso de três acontecimentos \(\rm A\), \(\rm B\) e \(\rm C\)

\({\rm{P(A \cup B \cup C)}}= {\rm{P(A)}}+{\rm{P(B)}} + {\rm{P(C)}}-{\rm{P(A\cap B)}} - {\rm{P(A\cap C)}} - {\rm{P(B\cap C)}} + {\rm{P(A \cap B \cap C)}}\)

ou a mais acontecimentos


Ver