Axiomática da Probabilidade (Axiomática de Kolmogorov)
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- Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa
Referência Martins, E.G.M., (2015) Axiomática da Probabilidade (Axiomática de Kolmogorov) , Rev. Ciência Elem., V3(1):077
DOI http://doi.org/10.24927/rce2015.077
Palavras-chave Axiomática; Probabilidade; Kolmogorov;
Resumo
Considere-se um espaço de resultados \(\rm S\), finito, e um conjunto A de subconjuntos de \(\rm S\) – acontecimentos - que satisfaça as seguintes condições:
-
- a) O acontecimento certo \(\rm S\), pertence a A.
- b) Se um acontecimento \(\rm A\) pertence a A, então o seu complementar (ver Operações com acontecimentos) \(\bar{\rm{A}}\) também pertence a A.
- c) Se dois acontecimentos pertencem a A, então a sua união \({\rm{A \cup B}}\) (ver Operações com acontecimentos) também pertence a A.
Ao par (\(S\), A), chamamos espaço de acontecimentos.
Uma medida de Probabilidade \(\rm{P}\) é uma função de conjunto, isto é, definida em A, que a cada elemento \(\rm A\) pertencente a A associa um número real que se chama Probabilidade de \(\rm A\) e se representa por \(\rm{P(A)}\), satisfazendo as seguintes condições ou axiomas:
1º axioma - A probabilidade de qualquer acontecimento é maior ou igual a zero
-
- \({\rm{P}}{\rm{(A) ≥ 0}}\).
2º axioma - A probabilidade do acontecimento certo \(\rm S\), é 1:
-
- \({\rm{P(S) = 1}}\).
3º axioma - Dados dois acontecimentos disjuntos, a probabilidade da sua união é igual à soma das probabilidades de cada um
-
- Se \({\rm{A}{\rm{\cap}}{\rm{B}} = \emptyset\quad\Rightarrow\quad {\rm{P(A \cup B)}} = {\rm{P(A) + P(B)}}}\)
No caso de S não ser finito, a condição c) é substituída pela condição
-
- c*) Se \(\rm{A_1}\), \(\rm{A_2}\), \(\rm{A_3}\), ... pertencem a A então \(\bigcup\limits_{ {\rm{i} } = {\rm{1}}}^\infty { { {\rm{A} }_{\rm{i} } } } \) também pertence a face="Curlz MT">A
e o 3º axioma é substituído pelo seguinte axioma:
3º axioma* - Se \(\rm{A_1}\), \(\rm{A_2}\), \(\rm{A_3}\), ... são acontecimentos disjuntos dois a dois, então
-
- \({\rm{P(}}\bigcup\limits_{ {\rm{i} } = {\rm{1}}}^\infty { { {\rm{A} }_{\rm{i} } } }{\rm{)} } = \sum\limits_{ {\rm{i} } = {\rm{1}}}^\infty { {\rm{P(} }{ {\rm{A} }_{\rm{i}}}{\rm{)}}}\)
Os axiomas anteriores são conhecidos como a axiomática de Kolmogorov.
A probabilidade frequencista, laplaciana e subjetiva, verificam a axiomática de Kolmogorov.
Como consequência da axiomática anterior, resultam as seguintes propriedades para a Probabilidade, que facilmente se ilustram com a ajuda de diagramas de Venn e se demonstram a seguir:
Propriedades da Probabilidade
1. Probabilidade do acontecimento impossível, \({\rm{P}}(\emptyset)=0\)
pois \({\rm{S}}= \left({\rm{S}} \cup \emptyset \right)\) e como \({\rm{S}}\) e \(\emptyset\) são disjuntos, pelo 3º axioma vem | \[\rm P\left({\rm{S}} \cup \emptyset \right) = \rm P\left({\rm{S}}\right) + \rm P\left(\emptyset\right)\] |
\(\quad \quad \quad \quad \quad \ = 1\). |
2. Probabilidade do acontecimento complementar, \({\rm{P}}(\bar{\rm{A}})=1- {\rm{P(A)}}\)
pois \({\rm{S}} = {\rm{A}} \cup \bar{\rm{A}}\) e como \({\rm{A}}\) e \(\bar{\rm{A}}\) são disjuntos vem | \[\rm P\left({\rm{A}} \cup \bar{ {\rm{A} } }\right) = \rm P\left(\rm{A}\right) + \rm P\left(\bar{\rm{A}}\right)\] |
\(\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ = 1\). |
3. Se \({\rm{A} }\) implica \({\rm{B} }\) (ver Operações com acontecimentos), ou seja, \({\rm{A}} \subseteq {\rm{B}}\), então \({\rm{P(A)} } \leq {\rm{P(B)} }\)
pois \({\rm{B}} = {\rm{A}} \cup {\rm{(B - A)}}\) e como \({\rm{A}}\) e \({\rm{(B-A)}}\) são disjuntos vem:
\(\rm P\left({\rm{B}}\right) = \rm P\left(\rm{A}\right) + \rm P\left({\rm{(B-A)}}\right)\) | |
\(\quad \quad \quad \ \geq \rm P\left({\rm{A}}\right)\) porque \(\rm P\left({\rm{(B-A)}}\right)\geq 0\) pelo 1º axioma. |
4. Para qualquer acontecimento \({\rm{A}}\), tem-se \(0 \leq \rm{P(A)} \leq 1\)
Esta propriedade é consequência da propriedade anterior, dado que \({\rm{A}} \subseteq {\rm{S}}\).
5. Dados dois acontecimentos \({\rm{A}}\) e \({\rm{B}}\) quaisquer, tem-se \({\rm{P(A-B)}}= {\rm{P(A)-P(A \cap B)}}\)
pois \({\rm{A}}= {\rm{(A-B)}}\cup {\rm{(A\cap B)}}\), com \({\rm{(A-B)}}\) e \({\rm{A \cap B}}\)
disjuntos.
6. A probabilidade da união de dois acontecimentos \({\rm{A}}\) e \({\rm{B}}\) quaisquer é \({\rm{P(A \cup B)}}= {\rm{P(A)}}+{\rm{P(B)}}-{\rm{P(A\cap B)}}\)
pois \({\rm{A \cup B}}= {\rm{(A-B)\cup(A\cap B)\cup(B-A)} }\), com \({\rm{(A-B)} }\), \({\rm{A\cap B}}\) e \({\rm{(B-A)} }\) disjuntos dois a dois e tendo em consideração a propriedade anterior.
Esta fórmula generaliza-se ao caso de três acontecimentos \(\rm A\), \(\rm B\) e \(\rm C\)
\({\rm{P(A \cup B \cup C)}}= {\rm{P(A)}}+{\rm{P(B)}} + {\rm{P(C)}}-{\rm{P(A\cap B)}} - {\rm{P(A\cap C)}} - {\rm{P(B\cap C)}} + {\rm{P(A \cap B \cap C)}}\)
ou a mais acontecimentos
Ver
Referências
- 1 GRAÇA MARTINS, M. E., MONTEIRO, C., VIANA, P. V., TURKMAN, M. A. A. (1999) – Probabilidades e Combinatória. Ministério da Educação, Departamento do Ensino Superior. ISBN: 972-8417-33-0. Depósito Legal 143440/99.
- 2 MANN, P. S. (1995) – Introductory Statistics, 2nd edition. John Wiley & Sons, Inc. ISBN: 0-471-31009-3
- 3 PESTANA, D., VELOSA, S. (2010) – Introdução à Probabilidade e à Estatística, Volume I, 4ª edição, Fundação Calouste Gulbenkian. ISBN: 978-972-31-1150-7. Depósito Legal 311132/10
- 4 SILVA,J.S. (1975) - Compêndio de Matemática, 1º Volume (2º TOMO) Gabinete de Estudos e Planeamento do Ministério da Educação e Cultura.
- 5 SILVA,J. - "Cálculo das Probabilidades", (Curso do Instituto Superior de Agronomia, 1955), in Textos Didácticos, Vol. 1, Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa, 1999.
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