Cálculo aproximado. Método de exaustão


A área \({\mathcal A}\) de um círculo de raio r pode ser obtida por um processo de exaustão. Isto significa que consideramos polígonos regulares inscritos no círculo com um número n de lados, aumentando sucessivamente.

Se designarmos por \({\mathcal A}_n\) a área de um tal polígono com n lados, então \({\mathcal A}_n\) fornece uma aproximação cada vez mais fiel da área \({\mathcal A}\) do círculo, à medida que n aumenta indefinidamente. Por outras palavras

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} {\mathcal A}_n={\mathcal A.}\)

Usando a fórmula da área de polígonos regulares

\({\mathcal A}_n=\displaystyle \frac{1}{2}r^2\, n\, \sin\left(\displaystyle \frac{2\pi}{n}\right)\)


e o facto conhecido \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\), podemos calcular o limite da sucessão \({\mathcal A}_n\), obtendo

\[\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle \frac{1}{2}r^2\, n\, \sin\left(\displaystyle \frac{2\pi}{n}\right)=\pi r^2\]

como se afirmou.