Área de um círculo
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- * CMUP/ Universidade do Porto
- ɫ CMUP/ Universidade do Porto
Referência Tavares, J., Geraldo, A., (2015) Área de um círculo, Rev. Ciência Elem., V3(1):078
DOI http://doi.org/10.24927/rce2015.078
Palavras-chave Área; círculo; raio;
Resumo
A área \({\mathcal A}\) de um círculo de raio r é igual a \(\pi r^2\)
Cálculo aproximado. Método de exaustão
A área \({\mathcal A}\) de um círculo de raio r pode ser obtida por um processo de exaustão. Isto significa que consideramos polígonos regulares inscritos no círculo com um número n de lados, aumentando sucessivamente.
Se designarmos por \({\mathcal A}_n\) a área de um tal polígono com n lados, então \({\mathcal A}_n\) fornece uma aproximação cada vez mais fiel da área \({\mathcal A}\) do círculo, à medida que n aumenta indefinidamente. Por outras palavras
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} {\mathcal A}_n={\mathcal A.}\)
Usando a fórmula da área de polígonos regulares
\({\mathcal A}_n=\displaystyle \frac{1}{2}r^2\, n\, \sin\left(\displaystyle \frac{2\pi}{n}\right)\)
e o facto conhecido \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\), podemos calcular o limite da sucessão \({\mathcal A}_n\), obtendo
\[\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle \frac{1}{2}r^2\, n\, \sin\left(\displaystyle \frac{2\pi}{n}\right)=\pi r^2\]
como se afirmou.
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