Se representarmos o resultado da observação da variável quantitativa, sobre todos os elementos da população, que assumimos finita, por x₁, x₂, ..., x_N, e o valor médio por \({\rm{\mu }}\), então, o desvio padrão obtém-se a partir da expressão

\[\sigma = \sqrt {\frac{ {\sum\limits_{ {\rm{i} } = {\rm{1}}}^{\rm{N}} { { { {\rm{(} }{ {\rm{x} }_{\rm{i} } } - {\rm{\mu } }{\rm{)}}}^{\rm{2}}}}}} {\rm{N}}} .\]

Como se identifica população com a variável aleatória, correspondente à característica em estudo sobre a população (desde que quantitativa), tanto se pode falar em desvio padrão da população como da variável aleatória.

Mais genericamente, se tivermos uma variável aleatória X, discreta (com um número finito ou infinito numerável de valores distintos), com valor médio \({\rm{\mu }}\) e em que a distribuição de probabilidades é

{ x_i,p_i }, i = 1, 2,..., M (caso finito)

ou

{ x_i,p_i }, i = 1, 2,..., N, ... (caso infinito numerável),

então,

\[\sigma = \sqrt {\sum\limits_{ {\rm{i} } = {\rm{1}}}^{\rm{M}} { { { {\rm{(}}{ {\rm{x}}_{\rm{i} } } - {\rm{\mu }}{\rm{) } } }^{\rm{2} } } } {\rm{p_i }}} \]

(caso finito)

e

\[\sigma = \sqrt {\sum\limits_{ {\rm{i} } = {\rm{1}}}^{\rm{+ \infty}} { { { {\rm{(}}{ {\rm{x}}_{\rm{i}}} - {\rm{\mu }}{\rm{)}}}^{\rm{2}}}} {\rm{p_i }}} \]

(caso infinito numerável)

admitindo-se que a série converge.

Por exemplo, se considerarmos a população constituída pelo número de irmãos de cada um dos 28 alunos da turma A do 8º ano da escola ABC, no ano letivo 2011-2012,

1 2 1 0 2 3 2 1 1 4 2 1 0 2 1 1 3 2 3 1 1 2 1 3 2 1 0 1

podemos falar na variável aleatória X, que representa o “número de irmãos” de um aluno escolhido ao acaso na referida turma, com a seguinte distribuição de probabilidades:

Então, o valor médio da população ou da variável aleatória X será igual a 1,6, donde o desvio padrão populacional virá

\[\sigma = \sqrt {\frac{ { { { {\rm{(1} } - {\rm{1} }{\rm{,6)} } }^{\rm{2} } } + { { {\rm{(2 - 1} }{\rm{,6)} } }^{\rm{2} } } + { { {\rm{(1 - 1} }{\rm{,6)} } }^{\rm{2} } } + ... + { { {\rm{(1 - 1} }{\rm{,6) } } }^{\rm{2} } } } }{ { {\rm{28} } } } } \approx 1,0\] ou \[\sigma = \sqrt { { { {\rm{(0 - 1} } {\rm{,6)} } }^{\rm{2} } } \times \frac{ {\rm{3} } }{ { {\rm{28} } } } + { { {\rm{(1 - 1} }{\rm{,6)} } }^{\rm{2} } } \times \frac{ { {\rm{12} } } } { { {\rm{28} } } } + { { {\rm{(2 - 1} }{\rm{,6)} } }^{\rm{2} } } \times \frac{ {\rm{8} } } { { {\rm{28} } } } + { { {\rm{(3 - 1} }{\rm{,6)} } }^{\rm{2}} } \times \frac{ {\rm{4} } }{ { {\rm{28} } } } + { { {\rm{(4 - 1} }{\rm{,6) } } }^{\rm{2} } } \times \frac{ {\rm{1} } }{ { {\rm{28} } } } } \approx 1,0\]

Vejamos ainda o seguinte exemplo que nos permite fazer uma interpretação interessante do desvio padrão.

Suponha que lhe propõem o seguinte jogo:

1. Receber mil euros sem ter de fazer nada, ou
2. Receber dois mil euros, se sair a face Euro no lançamento de uma moeda de um euro, equilibrada (se sair a face Nacional não recebe nada)

Qual das situações prefere? Porquê?

As duas situações podem ser caracterizadas, respetivamente, pelas variáveis aleatórias X e Y, em que

com

Repare-se que as duas variáveis aleatórias têm o mesmo valor médio o que significa que, ao fim de várias jogadas, em média, o jogador ganharia o mesmo. No entanto, o risco que corre ao aceitar a primeira situação é nulo, enquanto que o que corre ao aceitar a segunda situação é bastante grande – o risco é assim explicado pelo valor do desvio padrão. Assim, um jogador só preferirá a segunda situação se gostar de correr riscos!

Costuma-se utilizar o desvio padrão amostral s, para estimar o desvio padrão populacional \(\rm{\sigma}\).