Mais formalmente, seja $m$ o mínimo múltiplo comum de $a$ e $b$, temos que:

1) $a|m \,$ e $\,b|m$;

2) $\forall x \in \mathbb{Z}$, $a|x \,$ e $\, b|x$ então $m|x$.

Notação

Utilizamos a notação $\mbox{mmc}(a,b)$ para designar o mínimo múltiplo comum entre os números inteiros $a$ e $b$. Retomando o exemplo anterior, escreveríamos que $\mbox{mmc}(10,12)=60$.

Algumas propriedades

• Se $a$ é um múltiplo de $b$ então $\mbox{mmc}(a,b)=a$;
• Se $a$ é divisor de $b$ então $\mbox{mmc}(a,b)=b$;
• Se $t \in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$, temos que $\mbox{mmc}(at, bt)=t\,\, \mbox{mmc}(a,b)$;

Demonstração

Sejam $m=\mbox{mmc}(a,b)$ e $n=\mbox{mmc}(at,bt)$. Temos então que $a\,|\,m$ e $b\,|\,m$, logo $at\,|\,mt$ e $bt\,|\,mt$, ou seja, $mt$ é um múltiplo comum de $at$ e $bt$ e portanto $mt \ge n$.

Por outro lado, sabemos que $at\,|\,n$ e $bt\,|\,n$ e podemos escrever $n=atx=bty$, com $x,y \in \mathbb{Z}$. Mas então, $\displaystyle a\,|\, \frac{n}{t}$ e $\displaystyle b\,|\,\frac{n}{t}$ e assim $\displaystyle \frac{n}{t}$ é um múltiplo comum de $a$ e $b$ o que implica que $\displaystyle \frac{n}{t} \ge m$. Multiplicando ambos os membros da desigualdade anterior por $t$ obtemos $n \ge mt$.

Considerando as duas desigualdades obtidas anteriormente, $mt \ge n$ e $n \ge mt$, concluímos que $n=mt$, ou seja, $\mbox{mmc}(at,bt)=t \,\mbox{mmc}(a,b)$.

• Se $t \in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$, temos que $\displaystyle \mbox{mmc}\left(\frac{a}{t},\frac{b}{t}\right)=\frac{\mbox{mmc}(a,b)}{t}$;
• Comutatividade: $\mbox{mmc}(a,b)=\mbox{mmc}(b,a)$;
• Associatividade: $\mbox{mmc}(\mbox{mmc}(a,b),c)=\mbox{mmc}(a,\mbox{mmc}(b,c))$;
• O produto do mínimo múltiplo comum de $a$ e $b$ pelo máximo divisor comum desses mesmos números, é igual ao produto entre $a$ e $b$, ou seja, $\mbox{mmc}(a,b) \times \mbox{mdc}(a,b)=ab$;
• Se $a$ e $b$ são primos entre si, ou seja, $\mbox{mdc}(a,b)=1$, o $\mbox{mmc}(a,b)$ é igual ao produto de $a$ e $b$.

Cálculo do $mmc$

Mostramos em seguida dois processos que nos permitem determinar o $\mbox{mmc}$ de dois ou mais números inteiros. A diferença entre eles reside essencialmente na morosidade e complexidade de cada um deles consoante os números em causa.

$1º$ - Lista dos múltiplos

Neste processo o que se pretende, inicialmente, é que se escreva a lista ordenada dos múltiplos de cada um dos números. Posteriormente, pretende-se encontrar o menor número que aparece simultaneamente em todas as listas, ou seja, o menor múltiplo comum a todos os números considerados.

Exemplo

Como determinar o $\mbox{mmc}(22,34)$?

Comecemos por criar as listas ordenadas dos múltiplos de cada um dos números:

$\mathcal{M}_{22}=\{22,44,66,88,110, \dots, 330,352,{\bf 374},396, \dots\}$

$\mathcal{M}_{34}=\{34,68,102,136,170,\dots, 340,{\bf 374},408, \dots\}$

Pretendemos encontrar o menor elemento do conjunto $\mathcal{M}_{22} \cap \mathcal{M}_{34}$.

Portanto, o $\mbox{mmc}(22,34)=374$.

$2º$ - Fatorização em números primos

A fatorização em números primos é também um processo a ter em conta para a determinação do $\mbox{mmc}$. Para isso, basta escrevermos cada um dos números como produto de números primos. O mínimo múltiplo comum desses números é igual ao produto dos fatores primos não comuns e dos comuns, cada um elevado ao maior dos expoentes. Vejamos o seguinte exemplo.

Exemplo

Como calcular o $\mbox{mmc}(63,18,84)$ através da fatorização em números primos?

$63=3\times 3 \times 7 =3^2 \times 7$

$18=2 \times 3 \times 3=2 \times 3^2$

$84=2 \times 2 \times 3 \times 7 =2^2 \times 3 \times 7$

Logo, o $\mbox{mmc}(63,18,84)=2^2 \times 3^2 \times 7=252$.

Nota - O Algoritmo de Euclides pode também ser usado para o cálculo do $\mbox{mmc}$ de dois ou mais números inteiros positivos, usando a penúltima propriedade acima enunciada, que estabelece a seguinte igualdade $\mbox{mmc}(a,b) \times \mbox{mdc}(a,b)=ab$.

Algoritmo para cálculo do $mmc$

Pseudocódigo Dados dois números inteiros positivos $m$ e $n$. 1 - Tomamos $a=m$ e $b=n$; 2 - Enquanto $a$ for diferente de $b$, se $a < b$ adicionamos $m$ a $a$; 3 - Caso contrário, se $a > b$, adicionamos $n$ a $b$; 4 - Repetir os passos 2 e 3 até $a=b$. O $\mbox{mmc}(m,n)$ é então igual a $a$.

Código em $\mathcal{PYTHON}$ >