Mais formalmente, seja \(m\) o mínimo múltiplo comum de \(a\) e \(b\), temos que:

1) \(a|m \,\) e \(\,b|m\);

2) \(\forall x \in \mathbb{Z}\), \(a|x \,\) e \(\, b|x\) então \(m|x\).

Notação

Utilizamos a notação \(\mbox{mmc}(a,b)\) para designar o mínimo múltiplo comum entre os números inteiros \(a\) e \(b\). Retomando o exemplo anterior, escreveríamos que \(\mbox{mmc}(10,12)=60\).

Algumas propriedades

• Se \(a\) é um múltiplo de \(b\) então \(\mbox{mmc}(a,b)=a\);
• Se \(a\) é divisor de \(b\) então \(\mbox{mmc}(a,b)=b\);
• Se \(t \in \mathbb{Z}\backslash \{0\}\), temos que \(\mbox{mmc}(at, bt)=t\,\, \mbox{mmc}(a,b)\);

Demonstração

Sejam \(m=\mbox{mmc}(a,b)\) e \(n=\mbox{mmc}(at,bt)\). Temos então que \(a\,|\,m\) e \(b\,|\,m\), logo \(at\,|\,mt\) e \(bt\,|\,mt\), ou seja, \(mt\) é um múltiplo comum de \(at\) e \(bt\) e portanto \(mt \ge n\).

Por outro lado, sabemos que \(at\,|\,n\) e \(bt\,|\,n\) e podemos escrever \(n=atx=bty\), com \(x,y \in \mathbb{Z}\). Mas então, \(\displaystyle a\,|\, \frac{n}{t}\) e \(\displaystyle b\,|\,\frac{n}{t}\) e assim \(\displaystyle \frac{n}{t}\) é um múltiplo comum de \(a\) e \(b\) o que implica que \(\displaystyle \frac{n}{t} \ge m\). Multiplicando ambos os membros da desigualdade anterior por \(t\) obtemos \(n \ge mt\).

Considerando as duas desigualdades obtidas anteriormente, \(mt \ge n\) e \(n \ge mt\), concluímos que \(n=mt\), ou seja, \(\mbox{mmc}(at,bt)=t \,\mbox{mmc}(a,b)\).

• Se \(t \in \mathbb{Z}\backslash \{0\}\), temos que \(\displaystyle \mbox{mmc}\left(\frac{a}{t},\frac{b}{t}\right)=\frac{\mbox{mmc}(a,b)}{t}\);
• Comutatividade: \(\mbox{mmc}(a,b)=\mbox{mmc}(b,a)\);
• Associatividade: \(\mbox{mmc}(\mbox{mmc}(a,b),c)=\mbox{mmc}(a,\mbox{mmc}(b,c))\);
• O produto do mínimo múltiplo comum de \(a\) e \(b\) pelo máximo divisor comum desses mesmos números, é igual ao produto entre \(a\) e \(b\), ou seja, \(\mbox{mmc}(a,b) \times \mbox{mdc}(a,b)=ab\);
• Se \(a\) e \(b\) são primos entre si, ou seja, \(\mbox{mdc}(a,b)=1\), o \(\mbox{mmc}(a,b)\) é igual ao produto de \(a\) e \(b\).

Cálculo do \(mmc\)

Mostramos em seguida dois processos que nos permitem determinar o \(\mbox{mmc}\) de dois ou mais números inteiros. A diferença entre eles reside essencialmente na morosidade e complexidade de cada um deles consoante os números em causa.

\(1º\) - Lista dos múltiplos

Neste processo o que se pretende, inicialmente, é que se escreva a lista ordenada dos múltiplos de cada um dos números. Posteriormente, pretende-se encontrar o menor número que aparece simultaneamente em todas as listas, ou seja, o menor múltiplo comum a todos os números considerados.

Exemplo

Como determinar o \(\mbox{mmc}(22,34)\)?

Comecemos por criar as listas ordenadas dos múltiplos de cada um dos números:

\(\mathcal{M}_{22}=\{22,44,66,88,110, \dots, 330,352,{\bf 374},396, \dots\}\)

\(\mathcal{M}_{34}=\{34,68,102,136,170,\dots, 340,{\bf 374},408, \dots\}\)

Pretendemos encontrar o menor elemento do conjunto \( \mathcal{M}_{22} \cap \mathcal{M}_{34}\).

Portanto, o \(\mbox{mmc}(22,34)=374\).

\(2º\) - Fatorização em números primos

A fatorização em números primos é também um processo a ter em conta para a determinação do \(\mbox{mmc}\). Para isso, basta escrevermos cada um dos números como produto de números primos. O mínimo múltiplo comum desses números é igual ao produto dos fatores primos não comuns e dos comuns, cada um elevado ao maior dos expoentes. Vejamos o seguinte exemplo.

Exemplo

Como calcular o \(\mbox{mmc}(63,18,84)\) através da fatorização em números primos?

\(63=3\times 3 \times 7 =3^2 \times 7\)

\(18=2 \times 3 \times 3=2 \times 3^2\)

\(84=2 \times 2 \times 3 \times 7 =2^2 \times 3 \times 7\)

Logo, o \(\mbox{mmc}(63,18,84)=2^2 \times 3^2 \times 7=252\).

Nota - O Algoritmo de Euclides pode também ser usado para o cálculo do \(\mbox{mmc}\) de dois ou mais números inteiros positivos, usando a penúltima propriedade acima enunciada, que estabelece a seguinte igualdade \(\mbox{mmc}(a,b) \times \mbox{mdc}(a,b)=ab\).

Algoritmo para cálculo do \(mmc\)

Pseudocódigo Dados dois números inteiros positivos \(m\) e \(n\). 1 - Tomamos \(a=m\) e \(b=n\); 2 - Enquanto \(a\) for diferente de \(b\), se \(a < b\) adicionamos \(m\) a \(a\); 3 - Caso contrário, se \(a > b\), adicionamos \(n\) a \(b\); 4 - Repetir os passos 2 e 3 até \(a=b\). O \(\mbox{mmc}(m,n)\) é então igual a \(a\).

Código em \(\mathcal{PYTHON}\) >