Mínimo Múltiplo Comum
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- * Faculdade de Ciências da Universidade do Porto
- ɫ CMUP/ Universidade do Porto
Referência Tavares, J.N., Geraldo, A., (2017) Mínimo Múltiplo Comum, Rev. Ciência Elem., V5(1):066
DOI http://doi.org/10.24927/rce2017.066
Palavras-chave mínimo múltiplo comum, máximo divisor comum, mmc
Resumo
O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números inteiros é o menor número inteiro positivo que é múltiplo desses números. De outra forma, podemos dizer que o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros é o menor número inteiro que é divisível por esses números. Se um dos números for zero, o mínimo múltiplo comum é, por definição, igual a zero. Por exemplo, o menor múltiplo que é comum a \(10\) e a \(12\) é o \(60\), logo, o mínimo múltiplo comum de \(10\) e \(12\) é o número inteiro \(60\).
Mais formalmente, seja \(m\) o mínimo múltiplo comum de \(a\) e \(b\), temos que:
1) \(a|m \,\) e \(\,b|m\);
2) \(\forall x \in \mathbb{Z}\), \(a|x \,\) e \(\, b|x\) então \(m|x\).
Notação
Utilizamos a notação \(\mbox{mmc}(a,b)\) para designar o mínimo múltiplo comum entre os números inteiros \(a\) e \(b\). Retomando o exemplo anterior, escreveríamos que \(\mbox{mmc}(10,12)=60\).
Algumas propriedades
- Se \(a\) é um múltiplo de \(b\) então \(\mbox{mmc}(a,b)=a\);
- Se \(a\) é divisor de \(b\) então \(\mbox{mmc}(a,b)=b\);
- Se \(t \in \mathbb{Z}\backslash \{0\}\), temos que \(\mbox{mmc}(at, bt)=t\,\, \mbox{mmc}(a,b)\);
Demonstração
Sejam \(m=\mbox{mmc}(a,b)\) e \(n=\mbox{mmc}(at,bt)\). Temos então que \(a\,|\,m\) e \(b\,|\,m\), logo \(at\,|\,mt\) e \(bt\,|\,mt\), ou seja, \(mt\) é um múltiplo comum de \(at\) e \(bt\) e portanto \(mt \ge n\).
Por outro lado, sabemos que \(at\,|\,n\) e \(bt\,|\,n\) e podemos escrever \(n=atx=bty\), com \(x,y \in \mathbb{Z}\). Mas então, \(\displaystyle a\,|\, \frac{n}{t}\) e \(\displaystyle b\,|\,\frac{n}{t}\) e assim \(\displaystyle \frac{n}{t}\) é um múltiplo comum de \(a\) e \(b\) o que implica que \(\displaystyle \frac{n}{t} \ge m\). Multiplicando ambos os membros da desigualdade anterior por \(t\) obtemos \(n \ge mt\).
Considerando as duas desigualdades obtidas anteriormente, \(mt \ge n\) e \(n \ge mt\), concluímos que \(n=mt\), ou seja, \(\mbox{mmc}(at,bt)=t \,\mbox{mmc}(a,b)\).
- Se \(t \in \mathbb{Z}\backslash \{0\}\), temos que \(\displaystyle \mbox{mmc}\left(\frac{a}{t},\frac{b}{t}\right)=\frac{\mbox{mmc}(a,b)}{t}\);
- Comutatividade: \(\mbox{mmc}(a,b)=\mbox{mmc}(b,a)\);
- Associatividade: \(\mbox{mmc}(\mbox{mmc}(a,b),c)=\mbox{mmc}(a,\mbox{mmc}(b,c))\);
- O produto do mínimo múltiplo comum de \(a\) e \(b\) pelo máximo divisor comum desses mesmos números, é igual ao produto entre \(a\) e \(b\), ou seja, \(\mbox{mmc}(a,b) \times \mbox{mdc}(a,b)=ab\);
- Se \(a\) e \(b\) são primos entre si, ou seja, \(\mbox{mdc}(a,b)=1\), o \(\mbox{mmc}(a,b)\) é igual ao produto de \(a\) e \(b\).
Cálculo do \(mmc\)
Mostramos em seguida dois processos que nos permitem determinar o \(\mbox{mmc}\) de dois ou mais números inteiros. A diferença entre eles reside essencialmente na morosidade e complexidade de cada um deles consoante os números em causa.
\(1º\) - Lista dos múltiplos
Neste processo o que se pretende, inicialmente, é que se escreva a lista ordenada dos múltiplos de cada um dos números. Posteriormente, pretende-se encontrar o menor número que aparece simultaneamente em todas as listas, ou seja, o menor múltiplo comum a todos os números considerados.
Exemplo
Como determinar o \(\mbox{mmc}(22,34)\)?
Comecemos por criar as listas ordenadas dos múltiplos de cada um dos números:
\(\mathcal{M}_{22}=\{22,44,66,88,110, \dots, 330,352,{\bf 374},396, \dots\}\)
\(\mathcal{M}_{34}=\{34,68,102,136,170,\dots, 340,{\bf 374},408, \dots\}\)
Pretendemos encontrar o menor elemento do conjunto \( \mathcal{M}_{22} \cap \mathcal{M}_{34}\).
Portanto, o \(\mbox{mmc}(22,34)=374\).
\(2º\) - Fatorização em números primos
A fatorização em números primos é também um processo a ter em conta para a determinação do \(\mbox{mmc}\). Para isso, basta escrevermos cada um dos números como produto de números primos. O mínimo múltiplo comum desses números é igual ao produto dos fatores primos não comuns e dos comuns, cada um elevado ao maior dos expoentes. Vejamos o seguinte exemplo.
Exemplo
Como calcular o \(\mbox{mmc}(63,18,84)\) através da fatorização em números primos?
\(63=3\times 3 \times 7 =3^2 \times 7\)
\(18=2 \times 3 \times 3=2 \times 3^2\)
\(84=2 \times 2 \times 3 \times 7 =2^2 \times 3 \times 7\)
Logo, o \(\mbox{mmc}(63,18,84)=2^2 \times 3^2 \times 7=252\).
Nota - O Algoritmo de Euclides pode também ser usado para o cálculo do \(\mbox{mmc}\) de dois ou mais números inteiros positivos, usando a penúltima propriedade acima enunciada, que estabelece a seguinte igualdade \(\mbox{mmc}(a,b) \times \mbox{mdc}(a,b)=ab\).
Algoritmo para cálculo do \(mmc\)
Pseudocódigo
1 - Tomamos \(a=m\) e \(b=n\); 2 - Enquanto \(a\) for diferente de \(b\), se \(a < b\) adicionamos \(m\) a \(a\); 3 - Caso contrário, se \(a > b\), adicionamos \(n\) a \(b\); 4 - Repetir os passos 2 e 3 até \(a=b\). O \(\mbox{mmc}(m,n)\) é então igual a \(a\). |
Código em \(\mathcal{PYTHON}\)
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