• Se o discriminante $\Delta=b^2-4ac$ for negativo, a função quadrática não tem zeros e portanto ou é sempre positiva ou sempre negativa. Se $a >0$ a função é positiva para $x \in \mathbb{R}$, pelo contrário se o coeficiente $a<0$ então a função é negativa em todo o seu domínio. Ver figura 1.

• Se $\Delta>0$ a função tem dois zeros, respetivamente: $x_1=(-b-\sqrt{\Delta})/2a\quad$ ; $\quad x_2=(-b+\sqrt{\Delta})/2a \quad$ com $x_1<x_2$. Neste caso, se $a>0$ a função é positiva no intervalo $]-\infty,x_1[ \, \cup \, ]x_2,+\infty[$ e negativa para $x \in \, ]x_1,x_2[$. Já se $a<0$ a função toma valores positivos para $x \in \, ]x_1,x_2[$ e valores negativos no intervalo $]-\infty,x_1[ \, \cup \, ]x_2,+\infty[$. Ver figura 2.

• Finalmente se $\Delta=0$ a função quadrática possui um único zero em $x=-b/2a$. Neste caso, se $a>0$ a função é positiva em $x \in \, \mathbb{R} \backslash \{-b/2a\}$. Já se $a<0$, a função é negativa em $x \in \, \mathbb{R} \backslash \{-b/2a\}$. Ver figura 3.

$\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c=a\left[ \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2+ \frac{4ac-b^2}{4a^2} \right]$

Considerando a soma da duas parcelas no interior dos parêntesis retos, verificamos que a primeira depende de $x$ e é sempre positiva. A segunda parcela é constante. Portanto, o menor valor desta soma é atingido quando $\displaystyle \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2$ é igual a zero, ou seja, quando $x=-b/2a$. Neste ponto, $f(x)$ também assume o seu valor mínimo. Concluímos assim que, quando $a>0$ o menor valor (mínimo da função) assumido por $f(x)$ é: $f(-b/2a)=c-(b^2/4a)$.

Se $a<0$, o valor $f(-b/2a)$ é o maior dos números $f(x)$ (máximo da função), para qualquer $x \in \mathbb{R}$.

Quando $a>0$, $f(x)=ax^2+bx+c$ não assume valor máximo, é assim uma função ilimitada superiormente. Analogamente, quando $a<0$, $f(x)$ não assume valor mínimo sendo assim uma função ilimitada inferiormente.