Propriedades

A propriedade seguinte será usada na dedução dos chamados critérios de divisibilidade.

Teorema

Dois inteiros \(a,b\in\mathbb{Z}\) são congruentes módulo \(m\) se e só se produzem o mesmo resto quando divididos por \(m\).

Demonstração

Suponhamos que \(a\equiv b \ \ (\mbox{mod}\ m)\), e que \(a=qm+r\), com \(q,r\in \mathbb{Z}\) e \(0\leq r < m\). Então \(a-b=km,\, k\in \mathbb{Z}\). Substituindo \(a=qm+r\), vem que \(b=a-km=qm+r-km=(q-k)m+r\), com \(q-k\in \mathbb{Z}\) e \(0\leq r <m\), o que significa que o resto da divisão de \(b\) por \(m\) também é \(r\).

Reciprocamente, se \(a=qm+r\) e \(b=q'm+r\) com \(q,q',r\in \mathbb{Z},\ 0\leq r < m\), então \(b-a=q'm+r-qm-r=(q´-q)m\), o que significa que \(a\equiv b \ \ (\mbox{mod}\ m)\), CQD.

Mais propriedades

• Sejam \(d\), \(n \in \mathbb{N}\) e \(a\), \(b \in \mathbb{Z}\). Temos que:

(i) \(a \equiv a \quad (\mbox{mod} \ n)\);

(ii) se \(a \equiv b \quad (\mbox{mod} \ n)\), então \(b \equiv a \quad (\mbox{mod} \ n)\);

(iii) se \(a \equiv b \quad (\mbox{mod} \ n)\) e \(b \equiv c \quad (\mbox{mod} \ n)\), então \(a \equiv c \quad (\mbox{mod} \ n)\);

(iv) se \(a \equiv b \quad (\mbox{mod} \ n)\) e \(d|n\) então \(a \equiv b \quad (\mbox{mod} \ d)\).

Demonstração

(ii) Se \(a \equiv b \quad (\mbox{mod} \ n)\) então \(a-b=kn \, \Leftrightarrow \, a=b+kn\) com \(k \in \mathbb{Z}\). Ora então \(b-a=b-(b+kn)=-kn\), ou seja, \(b-a\) é um mútiplo inteiro de \(n\) e portanto \(b \equiv a \quad (\mbox{mod} \ n)\).

(iii) Se \(a \equiv b \quad (\mbox{mod} \ n)\) então \(a-b=kn \, \Leftrightarrow \, a=b+kn\) com \(k \in \mathbb{Z}\). Se \(b \equiv c \quad (\mbox{mod} \ n)\) então \(b-c=tn \, \Leftrightarrow \, c=b-tn\) com \(t \in \mathbb{Z}\). Ora, \(a-c=(b+kn)-(b-tn)=kn+tn=(k+t)n\), ou seja, \(a-c\) é um múltiplo inteiro de \(n\), isto é, \(a \equiv c \quad (\mbox{mod} \ n)\).

(iv) Se \(a \equiv b \quad (\mbox{mod} \ n)\) então \(a-b=kn\) com \(k \in \mathbb{Z}\). Ora, se \(d|n\) podemos escrever \(n=td\) com \(t \in \mathbb{Z}\). Temos então que \(a-b=kn=k(td)=(kt)d\), como \(kt\) é um número inteiro, concluímos que \(a-b\) é um múltiplo inteiro de \(d\), ou seja, \(a \equiv b \quad (\mbox{mod} \ d)\).

• Seja \(n \in \mathbb{N}\) e sejam \(a\), \(b\), \(c\) e \(d \in \mathbb{Z}\). Temos que:

(v) se \(a \equiv b \quad (\mbox{mod} \ n)\) e \(c \equiv d \quad (\mbox{mod} \ n)\), então \(a+c \equiv b+d \quad (\mbox{mod} \ n)\);

(vi) se \(a \equiv b \quad (\mbox{mod} \ n)\) e \(c \equiv d \quad (\mbox{mod} \ n)\), então \(ac \equiv bd \quad (\mbox{mod} \ n)\).

Demonstração

(v) Sejam \(r\) e \(s\) inteiros tais que, \(a-b=rn\) e \(c-d=sn\). Então, \((a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)=rn+sn=(r+s)n\), isto é, \((a+c)-(b+d)\) é um múltiplo inteiro de \(n\) e portanto \(a+c \equiv b+d \quad (\mbox{mod} \ n)\).

(vi) Observemos que \(ac-bd=ac-bc+bc-bd=(a-b)c+(c-d)b=rnc+snb=(rc+sb)n\), ou seja, \(ac-bd\) é um múltiplo inteiro de \(n\) e então \(ac \equiv bd \quad (\mbox{mod} \ n)\).