Inequações de 1º grau

A resolução de inequações do 1ºgrau comporta os mesmos desafios e os mesmos procedimentos que a resolução de equações do 1ºgrau. Assim, o objetivo principal da resolução de inequações do 1ºgrau será isolar a incógnita num dos membros, ou seja, obter \(x> \dots\), \(\quad x < \dots\), \(\quad x \le \dots\) ou \(\quad x \ge \dots\). Na resolução destas inequações podemos utilizar as propriedades das desigualdades de forma a não modificar o seu valor de verdade. Para isso, podemos transformar a desigualdade por adição, subtração, multiplicação e divisão por um número positivo como fazemos na resolução de equações. No caso da multiplicação ou divisão por um número negativo, existe uma diferença essencial relativamente às equações, pois no caso das inequações será necessário alterar o sentido da desigualdade para manter o mesmo valor de verdade.

Qualquer inequação do 1ºgrau, pode ser reduzida, através das operações referidas anteriormente, a uma das quatro formas seguintes:

\(ax < b\), \(\quad ax > b\), \(\quad ax \le b \quad\) ou \(\quad ax \ge b\)

podendo \(a\) ser positivo ou negativo mas nunca nulo.

Exemplos

Como resolver a equação \(\displaystyle 2- \frac{x-3}{2} \le 5\)?

\(\displaystyle 2- \frac{x-3}{2} \le 5 \, \Longleftrightarrow \, 4-x+3 \le 10 \, \Longleftrightarrow \, -x \le 3 \, \Longleftrightarrow \, x \ge -3\)

Logo o conjunto-solução desta inequação é \(\quad [-3, +\infty[ \), ver esquema figura 1.

Inequações de 2º grau

Exemplos

Como resolver a inequação \((x+3)^2 \ge 2x^2+6\)?

Começamos por simplificar a inequação: \(x^2+6x+9 \ge 2x^2+6 \, \Longleftrightarrow \, -x^2+6x+3 \ge 0\).

O passo seguinte é determinar as soluções da equação \(-x^2+6x+3=0\). Através da fórmula resolvente obtemos,

\(\displaystyle x=\frac{-6 \pm \sqrt{6^2-4 \times (-1) \times 3}}{-2} \, \Longleftrightarrow \, x=3-2\sqrt{3} \, \vee \, x=3+2\sqrt{3}\)

Organizando a informação num quadro de sinal,

A inequação \(-x^2+6x+3 \ge 0\) é assim válida no intervalo \([3-2\sqrt{3},3+2\sqrt{3}]\), ver figura 2.

Inequações com funções racionais

Por simplicidade vamos apenas considerar inequações do tipo

\(\displaystyle\frac{p(x)}{q(x)}\leq 0\)

onde \(p\) e \(q\) são polinómios de grau 1 ou 2 (a desigualdade pode ser \(\geq\), \(>\) ou \(<\)).

Na resolução deste tipo de inequações com funções racionais existe mais um fator a ter em conta que é o facto do denominador nunca se poder anular.

Vejamos o seguinte exemplo:

\(\displaystyle \frac{2x-1}{x+3} \le 5\)

Neste exemplo, temos de garantir que o valor que anula o denominador não aparece como solução da inequação, ou seja, que \(x+3 \neq 0 \, \Leftrightarrow \, x \neq -3\).

Resolvendo a inequação temos então que,

\(\displaystyle \frac{2x-1}{x+3} -5 \le 0 \, \Longleftrightarrow \, \frac{2x-1-5x-15}{x+3} \le 0 \, \Longleftrightarrow \, \frac{-3x-16}{x+3} \le 0\).

Considerando o quadro de sinal seguinte, temos que:

Logo, a inequação \(\displaystyle \frac{-3x-16}{x+3} \le 0\) é válida no intervalo \(]-\infty, -16/3] \cup ]-3, +\infty[\), ver figura 3.

Exemplos

Como resolver a inequação \(\displaystyle \frac{(x-5)(x+1)}{x^2-2x+1} <0\)?

Para resolver esta inequação basta conhecermos os valores que anulam cada um dos fatores do numerador, que são \(x=5\) e \(x=-1\) respectivamente, e os valores que anulam o denominador. Através da fórmula resolvente para equações do 2º grau descobrimos que o denominador desta inequação se anula em \(x=1\). Este valor, \(x=1\), não poderá fazer parte do conjunto ou intervalo de valores que são solução desta inequação pois é o valor que anula o denominador.

Organizando esta informação num quadro de sinais temos então que:

Concluímos então que o conjunto-solução da inequação é \(]-1,1[ \cup ]1,5[\).

Inequações com módulo

Consideremos a inequação \(|x-a| \le c\). Qual será o significado desta inequação?

Ora, \(|x-a|\) representa a distância entre os pontos \(x\) e \(a\), em \(\mathbb{R}\). Portanto, a inequação \(|x-a| \le c\) representa os pontos \(x\) que estão a uma distância de \(a\) inferior ou igual a \(c\).

• Se \(c<0\) a inequação é impossível, uma vez que não existem distâncias negativas, isto é \(|x-a| \ge 0\);
• Se \(c=0\), a inequação \(|x-a| \le 0\) tem uma única soluçao quando \(x=a\);
• Já se \(c>0\), \(|x-a| \le c \, \Leftrightarrow \, -c \le x-a \le c \, \Leftrightarrow \, a-c \le x \le a+c\).

Consideremos então a inequação \(|x-1|<4\). Esta condição representa os pontos \(x \in \mathbb{R}\) cuja distância ao ponto \(1\) é inferior a \(4\). Resolvemos este tipo de inequações da seguinte forma:

\(|x-1| <4 \, \Longleftrightarrow \, x-1<4 \, \wedge \, x-1>-4 \, \Longleftrightarrow \, x<5 \, \wedge \, x>-3\).

Logo a inequação é válida no intervalo \(]-3,5[\), ver figura 5.

Consideremos agora a inequação \(|x+5| \ge 2\). A condição representa o conjunto dos pontos \(x\) (em \(\mathbb{R}\)) cuja distância ao ponto \(-5\) é superior ou igual a 2. Resolvemos este tipo de inequações da seguinte forma:

\(|x+5| \ge 2 \, \Longleftrightarrow \, x+5 \ge 2 \, \vee \, x+5 \le -2 \, \Longleftrightarrow \, x \ge -3 \, \vee \, x \le -7\).

Neste caso, o intervalo que é solução desta inequação é \(]-\infty, -7] \cup [-3, +\infty[\).

Considerando a inequação \(|x-2|^2-|x| \le 0\) temos dois casos a considerar. Se \(x \ge 0\), a inequação fica na forma \(|x-2|^2-x \le 0\), enquanto que se \(x<0\) a inequação fica na forma \(|x-2|^2+x \le 0\). Ora então,

Temos que se \(x \ge 0\),

\(|x-2|^2-x \le 0 \, \Longleftrightarrow \, x^2-4x+4-x \le 0 \, \Longleftrightarrow \, x^2-5x+4 \le 0 \, \Longleftrightarrow \, (x-1)(x-4) \le 0 \, \Longleftrightarrow \, 1 \le x \le 4\)

Para o caso em que \(x<0\),

\(|x-2|^2+x \le 0 \, \Longleftrightarrow \, x^2-4x+4+x \le 0 \, \Longleftrightarrow \, x^2-3x+4\le 0 \, \Longleftrightarrow \, x \in \mathbb{R}\).

Portanto, o intervalo que é solução desta inequação é \([1,4]\).