Exemplo

Determinar \(\sin {2a}\), \(\cos {2a}\) e \(\tan {2a}\) sabendo que \(\displaystyle \cos a ={\frac{2}{3}}\) e \(a \in 1ºQ\).

Pelas fórmulas anteriores temos então que \(\sin {2a}=2 \, \sin a \, \cos a\). Como já conhecemos \(\cos a\) podemos através da fórmula fundamental da trigonometria determinar \(\sin a\).

\(\displaystyle \sin^2 a +\cos^2 a=1 \, \Leftrightarrow \, \sin^2 a + {\left(\frac{2}{3}\right)}^2=1 \, \Leftrightarrow \, \sin^2 a=\frac{5}{9} \, \Leftrightarrow \, \sin a= \pm \frac{\sqrt{5}}{3}\), como \(a\) é um ângulo do \(1ºQ\) concluímos então que \(\displaystyle \sin a=\frac{\sqrt{5}}{3}\).

Portanto, \(\displaystyle \sin {2a}= 2 \times \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{2}{3}= \frac{4 \sqrt{5}}{9}\).

\(\displaystyle \cos {2a}=\cos^2 a -\sin^2 a = {\left(\frac{2}{3}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^2=-\frac{1}{9}\)

Para determinarmos \(\tan {2a}\) pela fórmula anterior, necessitamos conhecer previamente o valor de \(\tan a\). Como \(\displaystyle \tan a=\frac{\sin a}{\cos a}\) temos então que \(\tan a=\frac{\sqrt{5}/3}{2/3}=\frac{\sqrt{5}}{2}\).

Logo, \(\displaystyle \tan {2a}=\frac{2 \tan a}{1- \tan^2 a} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{2}}{1-\frac{5}{4}}=-4\sqrt{5}\).

Bisseção do ângulo

Olhemos agora para o problema da determinação das razões trigonométricas da bisseção de um ângulo. Notemos que a fórmula fundamental da trigonometria nos permite estabelecer a seguinte igualdade

\(\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} + \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=1\).

Considerando a fórmula do cosseno do ângulo duplo que vimos anteriormente para um ângulo \(b\), temos que \(\cos \,{2b}=\cos^2 b -\sin^2 b\). Admitindo \(2b=a\) obtemos \(\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} - \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=\cos a\). Adicionando membro a membro esta igualdade com a obtida através da fórmula fundamental da trigonometria obtemos \(\displaystyle 2\,\cos^2 {\left(\frac{a}{2}\right)}=1+\cos a\) que é equivalente a:

\[\quad \cos {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}} \quad\]

Para obtermos a fórmula para o seno da bisseção de um ângulo basta subtrair membro a membro as igualdades obtidas anteriormente, \(\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} + \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=1\) e \(\displaystyle \cos^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)} - \sin^2 \,{\left(\frac{a}{2}\right)}=\cos a\). Dessa subtração resulta que \(\displaystyle 2\,\sin^2 {\left(\frac{a}{2}\right)}=1-\cos a\) que é equivalente a:

\[\quad \sin {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{2}} \quad\]

Como sabemos a tangente de um ângulo pode obter-se pelo quociente entre o seno e o cosseno desse mesmo ângulo. Portanto, através das igualdades estabelecidas anteriormente podemos concluir que \(\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}= \frac{\sin {\frac{a}{2}}}{\cos {\frac{a}{2}}}=\frac{\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}}{\pm \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}}\) é equivalente a (com \(\cos a \neq 1\)):

\[\quad \tan {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos a}} \quad\]

Nota - A presença de duplo sinal nas fórmulas anteriores explica-se pelo facto de o ângulo \(a\) não ser determinado pelo seu cosseno.

Exemplo

Determinar \(\displaystyle \sin {\frac{a}{2}}\), \(\displaystyle \cos {\frac{a}{2}}\) e \(\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}\) sabendo que \(\displaystyle \cos a =-{\frac{1}{3}}\) e \(a \in 2ºQ\).

Pelas fórmulas anteriores temos então que:

\(\displaystyle \sin {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-(-\frac{1}{3})}{2}}=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\), como \(a\) é um ângulo do \(2ºQ\) então \(a/2\) é um ângulo do \(1ºQ\), concluímos então que \(\displaystyle \sin {\frac{a}{2}}= \sqrt{\frac{2}{3}}\).

\(\displaystyle \cos {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+(-\frac{1}{3})}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1}{3}}\), mais uma vez como \(a/2\) é um ângulo do \(1ºQ\), concluímos então que \(\displaystyle \cos {\frac{a}{2}}= \sqrt{\frac{1}{3}}\).

\(\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos a}}=\pm \sqrt{\frac{1-(-\frac{1}{3})}{1+(-\frac{1}{3})}}=\pm \sqrt{2}\), como \(a/2\) é um ângulo do \(1ºQ\), concluímos então que \(\displaystyle \tan {\frac{a}{2}}= \sqrt{2}\).