A FIGURA 1 mostra como a orientação do sistema de eixos \(O_{xyz}\) pode ser definida em relação ao referencial \(OXY\) Z pelos três ângulos de Euler, habitualmente designados por \(\phi\), \(\theta\), \(\psi \). Esta definição não é única, mas é a mais comum. Passamos a descrever como são definidos aqueles três ângulos, chamando a atenção que todos eles fazem intervir rotações geralmente no sentido anti-horário.

O primeiro passo consiste numa rotação de um ângulo \(\phi\) em torno do eixo \(Z\). Nesta rotação, o eixo \(X\) é levado para uma posição designada por linha dos nodos, onde é marcado o versor \(\vec{n}\) obtido por aquela rotação do versor do eixo X.

É evidente que as componentes de \(\vec{n}\) no referencial \(OXYZ\) são:

\(\vec{n}=\left ( cos\phi,sen\phi,0 \right )\) (1)

Designemos por \(Oxy′z′\) o sistema de eixos obtido por esta rotação de \(OXYZ\) (FIGURA 2D)). A relação entre as coordenadas do mesmo ponto nestes dois sistemas pode escrever-se sob a forma matricial seguinte:

\(\begin{bmatrix} X\\ Y\\ Z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\phi & -sen\phi & 0\\ sen\phi & cos\phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{bmatrix}\) (2)

A seguir, efectuamos uma rotação de  em torno da linha dos nodos. O sistema de eixos \(Ox′y′z′\) determina, por esta rotação, o sistema \(Ox”y”z”\) (FIGURA 2B)). A relação entre as coordenadas do mesmo ponto nestes dois sistemas, é:

\(\begin{bmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & cos\theta & -sen\theta\\ 0 & sen\theta & cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x"\\ y"\\ z" \end{bmatrix}\) (3)

Finalmente, rodamos de \(\phi\) em torno do eixo \(z”\), levando o sistema de eixos \(Ox”y”z”\) ao sistema de eixos pretendido \(Oxyz\) (FIGURA 2C)), obtendo-se, assim, a relação entre as coordenadas do mesmo ponto nestes dois referenciais:

\(\begin{bmatrix} x"\\ y"\\ z" \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\psi & -sen\psi & 0\\ sen\psi & cos\psi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\) (4)

Note-se que a linha dos nodos é perpendicular ao plano definido pelos eixos \(Z\equiv z'\) e \(z"\equiv z\).

É importante sublinhar que a ordem em que são aplicadas estas rotações não é arbitrária: rotações finitas não comutam (FIGURA 3), o mesmo acontecendo às suas matrizes representativas. Contudo, rotações infinitesimais comutam porque termos cruzados no produto das matrizes são de segunda ordem ou superior.

Estas considerações vão-nos permitir obter uma importante expressão para o vector rotação instantânea \(\vec{\omega}\) (Ver “Sólido rígido”) de que recordamos a sua definição:

\(\delta\omega\equiv \vec{\omega}\delta t\) (5)

é a rotação infinitesimal do sólido, no curto intervalo de tempo \(\delta t\), de grandeza \(\left | \delta \Omega \right |\), como um saca-rolhas que progrida no sentido de \(\vec{\omega}\). Imaginemos que os eixos xyz, atrás referidos, são eixos do sólido; é frequente considerar a origem no centro de massa e fazer coincidir estes eixos com os eixos principais dinércia, embora nem uma nem outra destas identificações seja necessária. No movimento do sólido, estes eixos rodam no espaço (em relação ao referencial fixo \(OXYZ\)), pelo que os ângulos de Euler dependem do tempo. Assim, durante o curto intervalo de tempo \(\delta t\), estes ângulos sofrem acréscimos \(\delta\phi=\phi \delta t,\delta \theta=\theta\delta t ,\delta \psi=\psi\delta t\) originando rotações em torno dos eixos atrás identificados. Lembrando: \(\delta\psi\) é uma rotação em torno do eixo \(Z\), fixo, contribuindo com \(\delta\psi\vec{e}_{Z}=\psi\vec{e}_{Z}\delta t\); \(\delta\vec{\Omega}\) é uma rotação em torno da linha dos nodos, contribuído com \(\theta\vec{n}\delta t\); e \(\delta\psi\) é uma rotação em torno do eixo \(z\) (do sólido), contribuindo com \(\psi\vec{e}_{z}\delta t\)(\(\vec{e}_{Z}\) e \(\vec{e}_{z}\) são versores nos respectivos eixos). Assim:

\(\delta\bar{\Omega}=\left ( \psi\vec{e}_{Z}+\theta\vec{n}+\psi\vec{e}_{z} \right )\delta t\)

Comparando com a eq (5), obtemos finalmente:

\(\vec{\omega}=\psi\vec{e}_{Z}+\theta\vec{n}+\psi\vec{e}_{z}\) (6)

Este resultado é fundamental para o estudo de diversas aplicações da dinâmica de sólidos rígidos.