Propriedades

As provas de cada uma das propriedades que se seguem, consideram que $L$ é uma função estritamente crescente. Quando $L$ é uma função estritamente decrescente, as provas são análogas.

1) Injetividade: Uma função logarítmica é sempre injetiva, ou seja, números positivos diferentes têm logaritmos diferentes.

Considerando x e y esses números, podemos então ter que $x<\mathit{y}$ ou $x > y$. Se $x<\mathit{y}$ resulta da propriedade A) que $L\left ( x \right )<\mathit{L\left ( y \right )}$. Da mesma forma, se $x > y$ então $L\left ( x \right )>L\left ( y \right )$. Nos dois casos, considerando $x\neq y$ temos que $L\left ( x \right )\neq L\left ( y \right )$.

2) Logaritmo de 1: O logaritmo de 1 é zero, pois da propriedade B) resulta que,

$L\left ( 1 \right )=L\left ( 1\times 1 \right )=L\left ( 1 \right )+L\left ( 1 \right )$ logo $L\left ( 1 \right )=0$.

3) Os números maiores do que 1 têm logaritmos positivos e os números positivos menores do que 1 têm logaritmos negativos.

Sendo L uma função crescente, consideremos $0<\mathit{x}<1<\mathit{y}$. Temos então que $L\left ( x \right )<\mathit{L}\left ( 1 \right )<\mathit{L}\left ( y \right )$, isto é, $L\left ( x \right )<\mathit{}0<\mathit{L}\left ( y \right )$.

4) Para todo $x > 0$ tem-se $L(1/x) = −L(x)$.

Considerando $x$ e $1/x$ temos que, $x\cdot \left ( 1/x \right )=1$, donde pelas propriedades B) e 3), temos $L\left ( x \right )+L\left ( 1/x \right )=L\left ( 1 \right )=0$. Portanto, concluímos que L(1/x) = −L(x).

5) Para quaisquer $x,y\in \mathbb{R}^{+}$ tem-se $L\left ( x/y \right )=L\left ( x \right )-L\left ( y \right )$.

Esta propriedade decorre imediatamente da propriedade anterior, pois

$L\left ( x/y \right )=L\left ( x \cdot \left ( 1/y \right )\right )=L\left ( x \right )+L\left ( 1/y \right )=L\left ( x \right )-L\left ( y \right )$.

6) Para todo $x\in \mathbb{R}^{+}$ e para todo o número racional $r = p/q$ tem-se $L\left ( x^{r} \right )=r\cdot L\left ( x \right )$.

Comecemos por notar que a propriedade A) se estende a um produto de um qualquer número de fatores: $L\left ( x_{1}\times ... \times x_{n} \right )=L\left ( x_{1} \right )+L\left ( x_{2} \right )+...+L\left ( x_{n} \right )$..

Em particular, se $n\in \mathbb{N}$ temos que:

$L\left ( x^{n} \right )=L\left ( x\times ... \times x \right )=L\left ( x \right )+L\left ( x \right )+...+L\left ( x \right )=n\cdot L\left ( x \right )$.

e fica assim a propriedade provada para $r$ número natural.

Para $r = 0$ está provado, uma vez que, $x^{0}=1$, logo $L\left ( x^{0} \right )=L\left ( 1 \right )=0=0\cdot L\left ( x \right )$.

Considerando $r$ um número inteiro negativo, $r=-n$ com $n\in \mathbb{N}$, temos pelas propriedades das potências que $x^{n}\cdot x^{-n}=1$. Logo, $L\left ( x^{n} \right )\cdot L\left ( x^{-n} \right )=L\left ( 1 \right )=0$, concluímos então que $L\left ( x^{-n} \right )=-L\left ( x^{n} \right )=-n\cdot L\left ( x \right )$.

Finalmente, para $r$ um número racional, $r = p/q$ temos que $\left ( x^{r} \right )^{q}=\left ( x^{p/q} \right )^{q}=x^{p}$. Pelo provado anteriormente sabemos então que

$q\cdot L\left ( x^{r} \right )=L\left ( \left ( x^{r} \right )^{q} \right )=L\left ( x^{p} \right )=p\cdot L\left ( x \right )$.

Concluímos então que $q\cdot L\left ( x^{r} \right )=p\cdot L\left ( x \right )$ donde resulta que $L\left ( x^{r} \right )=\left ( p/q \right )\cdot L\left ( x \right )$, ou seja, $L\left ( x^{r} \right )=r\cdot L\left ( x \right )$.

Inversa da função logarítmica

Recordemos que a inversa da função exponencial de base $a$ é a função $\mathit{log}_{a}x:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}$, que associa a cada número real positivo $x > 0$ o número real $\mathit{log}_{a}$, chamado logaritmo de $x$ na base $a$. Por definição de função inversa temos então que:

$a^{log_{a}x}=x$ e $log_{a}\left ( a^{x} \right )=x$

Portanto, $log_{a}x$ é o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número $x$:

$y=log_{a}x\Leftrightarrow a^{y}=x$.

Em seguida, vamos provar que para toda a função logarítmica L, com as propriedades anteriormente definidas, existe $a > 0$ tal que $L\left ( x \right )=log_{a}x$, para todo $x\in \mathbb{R}^{+}$.

Suponhamos que $L$ é uma função estritamente crescente (o caso em que é estritamente decrescente é tratado igualmente).

Vamos admitir para já que $L\left ( a \right )=1$ para um certo $a\in \mathbb{R}^{+}$, que é único. Veremos depois que esta hipótese não é restritiva.

Como $L$ é uma função estritamente crescente, e L\left ( 1 \right )=0<\mathit{}1=L\left ( a \right ), deduzimos que $a > 1$. Para todo $m\in \mathbb{N}$ temos que:

$L\left ( a^{m} \right )=L\left ( a\times a\times ... \times a \right )=L\left ( a \right )+L\left ( a \right )+...+L\left ( a \right )=1+1+...+1=m$.

$0=L\left ( 1 \right )=L\left ( a^{m}\cdot a^{-m} \right )=L\left ( a^{m} \right )+L\left ( a^{-m} \right )$ donde concluímos que $L\left ( a^{-m} \right )=-m$. Se $r = m/n$ com $m\in \mathbb{N}$ e $n\in \mathbb{N}$ então $rn = m$, e portanto, $m=L\left ( a^{m} \right )=L\left ( \left ( a^{r} \right )^{n} \right )=n\cdot L\left ( a^{r} \right )$ donde concluímos que $L\left ( a^{r} \right )=\frac{m}{n}=r$.

Finalmente se $x$ for um número irracional, então, tomando $r$ e $s$ dois números racionais arbitrários tais que $r<\mathit{}x<\mathit{}s$, temos que, uma vez que $a > 1$, $r<\mathit{}x<\mathit{}s\Rightarrow a^{r}<\mathit{}a^{x}<\mathit{}a^{s}\Rightarrow L\left ( a^{x} \right )<\mathit{}L\left ( a^{s} \right )\Rightarrow r<\mathit{}L\left ( a^{x} \right )<\mathit{}s$.

Como $r$ e $s$ são arbitrários, segue-se por enquadramento de limites e por unicidade do limite, que $L\left ( a^{x} \right )=x$ para todo $x\in \mathbb{R}$.

Portanto, $L\left ( y \right )=log_{a}y$ para todo $y > 0$.

Vejamos agora que a hipótese anteriormente assumida de que $L\left ( a \right )=1$, para um certo $L\left ( a \right )=1$, que é único, não é restritiva.

Consideremos então o caso geral, em que temos uma função estritamente crescente $L:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}$. Então $L\left ( xy \right )=L\left ( x \right )+L\left ( y \right )$, e como $1<\mathit{}2$ devemos ter que $0=L\left ( 1 \right )<\mathit{}L\left ( 2 \right )=b$, isto é, $b > 0$. Seja $M:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}$ uma nova função, definida por $M\left ( x \right )=L\left ( x \right )/b$.

Esta função é também estritamente crescente, transforma somas em produtos e cumpre $M\left ( 2 \right )=1$. Logo, pela primeira parte da demonstração, tem-se $M\left ( x \right )=log_{2}x$ para todo $x > 0$. Portanto, para todo $x > 0$ temos, $x=2^{M\left ( x \right )}=2^{L\left ( x \right )/b}=\left ( 2^{1/b} \right )^{L\left ( x \right )}=a^{L\left ( x \right )}$, onde $a=2^{1/b}$.

Tomando $log_{a}x$ de ambos os membros da igualdade anterior, $x=a^{L\left ( x \right )}$, vem finalmente $log_{a}x=L\left ( x \right )$.

Base da função logarítmica

Na secção anterior provamos que uma qualquer função logarítmica, $L\left ( x \right )$, é sempre igual ao logaritmo de $x$ numa base a, onde $L\left ( a \right )=1$.

Mudança de base

Consideremos $L_{a}$ e $L_{b}$ duas funções logarítmicas com bases $a$ e $b$, respetivamente. A fórmula que nos permite efetuar a mudança de base é a seguinte:

$L_{a}\left ( x \right )=L_{a}\left ( b \right )\cdot L_{b}\left ( x \right )$.

Por exemplo, tomando a qualquer e $b = 2$, e fazendo $t=L_{a}\left ( x \right )$ e $\nu =L_{2}\left ( x \right )$, então $a^{t}=x$ e $2^{\nu}=x$. Se escrevermos $c=L_{a}\left ( 2 \right )$ sabemos que é equivalente a $a^{c}=2$, logo, $x=a^{t}=2^{\nu}=\left ( a^{c} \right )^{\nu}=a^{c\nu}$ portanto $t=c\nu$, isto é, $L_{a}\left ( x \right )=L_{a}\left ( 2 \right )\cdot L_{2}\left ( x \right )$ para todo $x > 0$.

Aplicando o mesmo raciocínio, podemos concluir que a igualdade:

$L_{a}\left ( x \right )=L_{a}\left ( b \right )\cdot L_{b}\left ( x \right )$ é válida em geral.