Referenciais uniformes

Um referencial uniforme normalizado para um espaço vetorial \(d\)-dimensional é um conjunto de \(n\geq d\) vetores unitários \(\vec{u}_{i}\) para o qual qualquer vetor desse espaço admite a decomposição

\(\vec{v}=\frac{d}{n}\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{u}_{i}\vec{u}_{i}\) sendo \(c_{i}=\vec{u}_{i}\cdot \vec{v}\) (1)

Quando \(n = d\) o referencial uniforme é uma base ortonormada. Quando \(n > d\) a redundância da informação contida num maior número de componentes \(c_{i}\) do que a dimensão do espaço encontra aplicações teóricas na Teoria da Informação e práticas nas Telecomunicações.

Um referencial uniforme pode ser representado na forma duma matriz \(u\) cujas componentes \(\mu_{ki}\) são a \(k\)-ésima coordenada do vetor \(\vec{u}_{i}\)

\(u=\begin{bmatrix} \mu_{11} & \mu_{12} & ... & \mu_{1n}\\ ... & ... & ... & ...\\ \mu_{d1} & \mu_{d2} & ... & \mu_{dn} \end{bmatrix}\) (2)

Pode-se mostrar¹ que a condição (1) é equivalente a

\(u\cdot u^{T}=\frac{n}{d}I_{d}\). (3)

Retas equiangulares

Um conjunto de retas equiangulares pode ser descrito por \(n\) vetores unitários \(\vec{u}_{i}\) para os quais o produto interno entre qualquer par deles seja o mesmo:

\(\left ( u\cdot u^{T} \right )_{ij}=\vec{\mu}_{i}\cdot\vec{\mu}_{j}=\left\{\begin{matrix} 1 & \textrm{se} & i=j\\ \pm p & \textrm{se} & i\neq j \end{matrix}\right.\) (4)

Os dois sinais possíveis para o produto interno refletem a arbitrariedade na escolha do sentido do vetor que representa cada reta. O ângulo comum feito entre todos os pares de retas é \(\theta=\textrm{cos}^{-1}p\).

A existência de retas equiangulares é um problema antigo, dependente da dimensão \(d\) do espaço e do número \(n\) de retas. Pode não ter solução ou ter uma ou mais soluções, cada uma para um diferente valor do “ângulo” \(p\), mas tem que ser \(n\leq d\left ( d+1 \right )/2\). Este valor máximo de \(n\) só é possível para certas dimensões². Alguns conjuntos concretos de linhas equiangulares em diversas dimensões podem ser encontrados em³.

Quando os vetores dum referencial uniforme representam retas equiangulares, eles podem então ser descritos por matrizes retangulares \(n \times d\) que obedeçam às equações (3) e (4) para \(u\cdot u^{T}\) e para \(u^{T} \cdot u\). Pode-se mostrar^{1, 4} que, quando a solução existe, o ângulo \(p\) entre as linhas é dado por

\(p^{2}=\frac{n-d}{d\left ( n-1 \right )}\) (5)

e que tem que ser

\(d\leq n\leq \frac{d\left ( d+1 \right )}{2}\) (6)

Exemplos

Na FIGURA 1 apresentamos três casos para ilustrar o conceito de referencial uniforme equiangular. Temos:

Esquerda \(u=\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}\), \(u\cdot u^{T}=\begin{bmatrix} \frac{3}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\) e \(u^{T}\cdot u=\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 1 \end{bmatrix}\)

Meio \(u=\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0 & \frac{1}{\sqrt{v}} & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}\), \(u\cdot u^{T}=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}\) e \(u^{T}\cdot u=\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 1 \end{bmatrix}\);

Direita \(u=\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}\), \(u\cdot u^{T}=\begin{bmatrix} \frac{3}{2} & 0\\ 0 & \frac{3}{2} \end{bmatrix}\) e \(u^{T}\cdot u=\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}\).

Soluções

Não dispomos de um método sistemático para encontrar referenciais uniformes equiangulares para todas as dimensões. Sabemos que existem as seguintes soluções triviais:

• Para \(d = 1\) qualquer valor de \(n\) fornece uma solução com \(p = 1\).
• Quando \(n = d\) os referenciais ortonormados são soluções com \(p = 0\).
• Quando \(n = d + 1\) há sempre solução com \(p = 1/d\).

Fora destes casos, sabemos que, para que haja solução (mas sem a garantir), é necessário que se verifiquem as seguintes condições⁴:

• Se \(n = 2d\)

\(n=a^{2}+b^{2}+1\) com \(a,b\in \mathbb{N}\) (7)

• Caso contrário

\(\sqrt{\frac{d\left ( n-1 \right )}{n-d}}\) e \(\sqrt{\frac{\left ( n-d \right )\left ( n-1 \right )}{d}}\) são inteiros ímpares. (8)

Para as dimensões mais baixas conhecem-se todas as soluções. Em duas dimensões só há as duas soluções triviais: os dois eixos cartesianos e os três eixos do exemplo da direita na FIGURA 1. Em três dimensões há as três soluções representadas na FIGURA 2, uma delas não sendo trivial. Na TABELA 1 indicamos os valores de \(n\) e de \(p\) para as soluções não triviais existentes até à dimensão \(d = 11\). Tabelas mais extensas podem ser encontradas em4.

Espaços complexos

A definição de referencial uniforme equiangular, equações (3) e (4), mantém-se para espaços vetoriais complexos, apenas com a seguinte modificação em (4):

\(\left | \vec{\mu}_{i}\cdot \vec{\mu}_{j} \right |=p\) se \(i\neq j\) (9)

As equações (2) e (5) mantêm-se válidas no caso complexo, mas não (6), que passa a ser⁵:

\(d\leq n\leq d^{2}\). (10)

Os referenciais uniformes equiangulares máximos, isto é, para os quais \(n=d^{2}\), desempenham um importante papel na Teoria da Informação Quântica, visto que os espaços vetoriais da Mecânica Quântica são complexos, com possíveis aplicações no domínio da computação quântica.