Descrição do problema

Um avião voa com uma velocidade $V$, superior à velocidade do som, $S$. Em cada instante, o motor do avião emite um som que se propaga no espaço, com velocidade $S$, em todas as direções, sob a forma de ondas esféricas — estas esferas chamam-se as frentes de onda. Quando atingem o solo, intersetam-no em círculos cujo raio vai crescendo à medida que o tempo avança. Se um habitante da região sobrevoada pelo avião estiver dentro destes círculos, ele ouvirá o ruído dos motores do avião.

Objetivo

Analisar a zona de audibilidade num certo instante. Por outras palavras, fixamos um instante, digamos, o instante $0$ (congelamos o tempo nesse instante), onde o avião está no ponto $(0, 0, h)$, e vemos como é a região do solo onde o avião foi ouvido (FIGURA 1).

Dados do problema:

• A altura $h > 0$ do voo (suposta constante), medida em km.
• A velocidade $V$ do avião (suposta constante), medida em km/h.
• A velocidade $S$ de propagação do som (suposta também constante), medida em km/h.
• O avião desloca-se em movimento retilíneo uniforme, ao longo da reta paralela ao eixo dos $x$’s, no plano $Oxz$, a uma altura $h$ do plano do solo — o plano $Oxy$. O avião voa da esquerda para a direita, no sentido positivo do eixo dos $x$’s. Supomos ainda que o voo é supersónico: $V > S$.

Cálculos

Analisemos então a zona de audibilidade no instante $0$. Neste instante o avião está no ponto $(0, 0, h)$, por cima da origem das coordenadas, $O$. $T > 0$ horas mais cedo o avião estava no ponto $A = (−V T, 0, h)$ (FIGURA 1). No ponto $A$, o motor do avião emitiu um som que se prapaga em todas as direções com velocidade $S <$$V$. A frente de onda tem pois a forma de uma esfera cujo raio cresce com velocidade $S$.

Qual o raio dessa esfera no instante $0$?

Como passaram $T$ horas, até o avião chegar ao ponto $(0, 0, h)$, é claro que esse raio é igual a $ST$. Essa esfera, no instante $t = 0$, interseta o solo segundo uma circunferência centrada em $(−V T, 0, 0)$, e cujo raio é $(R=\sqrt{\left ( ST \right )^{2}-h^{2}}$), como se deduz facilmente, aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo $ABC$, e atendendo a que $\overline{AB}=h$ e $\overline{AC}=ST$ (FIGURA 1).

Generalização

O mesmo acontece em cada instante $T:0<$$t\leq T$ — nesse instante o avião está no ponto $(−V t, 0, h)$ e, nesse ponto, o motor do avião emite um som que se prapaga em todas as direções com velocidade $S$. A frente de onda correspondente tem mais uma vez a forma de uma esfera cujo raio cresce com velocidade $S <$$V$. Essa esfera, no instante $t = 0$, tem um raio igual a $St$ e interseta o plano do solo segundo uma circunferência $Ct$, centrada em $(−V t, 0, 0)$ e cujo raio é $\sqrt{\left ( St \right )^{2}-h^{2}}$.

No plano $Oxy$, a equação dessa circunferência é

$C_{t}:\left ( x+Vt \right )^{2}+y^{2}=\left ( St \right )^{2}-h^{2}$ (1)

Zona de audibilidade

É agora claro que a zona de audibilidade, no instante $0$ é constituída por todos os pontos do solo que estão dentro dos círculos delimitados por todas estas circunferências $(C_{t}$), para $t:0<$$t\leq T$ (FIGURA 2), isto é, por todos os pontos $(x, y)$ do solo, que satisfazem as inequações (uma para cada $t$):

$\left ( x+Vt \right )^{2}+y^{2}\leq \left ( St \right )^{2}-h^{2},\; \; \; \forall t:0\leq t\leq T$ (2)

ou, fazendo as contas:

$\left ( V^{2}-S^{2} \right )t^{2}+2Vxt+\left ( x^{2}+y^{2}+h^{2} \right )\leq 0\; \; \; \forall t:0\leq t\leq T$ (3)

Para cada $t$, esta é uma inequação do segundo grau em $t$. Quais as condições em que admite solução? A resposta está dada no teorema seguinte, cuja demonstração é simples:

Teorema

Considere um polinómio quadrático da forma:

$at^{2}+bt+c$

com coeficientes $a > 0$ e $c > 0$. Para que exista um $t\geq 0$ que satisfaça a inequação:

$at^{2}+bt+c\leq 0$

é necessário e suficiente que:

1. $b<$$0$
2. $b^{2}-4ac\geq 0$

No nosso caso, a inequação é (3) com:

$a=V^{2}-S^{2}>0,\; \; \; b=2Vx$ e $c=x^{2}+y^{2}+h^{2}>0$

Aplicando os critérios do teorema, concluímos que:

1. $b=2Vx<$$0\; \; \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \; \; x<$$0$
2. $b^{2}-4ac\geq 0\; \; \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \; \; \left ( 2Vx \right )^{2}-4\left ( V^{2}-S^{2} \right )\left ( x^{2}+y^{2}+h^{2} \right )\geq 0$

Esta última desigualdade pode ser escrita na forma:

$\frac{x^{2}}{\left [ \left ( V^{2}-S^{2} \right )/S^{2} \right ]}-\frac{y^{2}}{h^{2}}\geq 1$

ou, fazendo $k=\frac{V}{S}h$, na forma:

$\frac{x^{2}}{k^{2}-h^{2}}-\frac{y^{2}}{h^{2}}\geq 1$ (4)

Conclusões

1. A zona de audibilidade no instante $t = 0$ consiste de todos os pontos $(x, y)$ do solo, que satisfazem:



$\frac{x^{2}}{h^{2}-h^{2}}-\frac{y^{2}}{h^{2}}\geq 1$ e $x<$$0$ (5)



2. A hipérbole de equação:



$\frac{x^{2}}{k^{2}-h^{2}}-\frac{y^{2}}{h^{2}}=1$ (6)

é a envolvente das circunferências $C_{t}$, dadas por (1) (FIGURA 3).