Desvio padrão amostral
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- Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa
Referência Martins, E.G.M., (2013) Desvio padrão amostral, Rev. Ciência Elem., V1(1):022
DOI http://doi.org/10.24927/rce2013.022
Palavras-chave raiz; quadrada; Desvio; padrão;
Resumo
Desvio padrão de uma amostra (ou coleção) de dados, de tipo quantitativo, é uma medida de dispersão dos dados relativamente à média, que se obtém tomando a raiz quadrada da variância amostral.
Uma vez que a variância amostral se exprime nas unidades dos dados elevados ao quadrado, considera-se como medida de dispersão, não a variância, mas a sua raiz quadrada. Se representarmos os dados por x1, x2, ..., xn, e por \({ {\rm{\bar x}} }\) a sua média, o desvio padrão obtém-se a partir da expressão
\[s = \sqrt {\frac{ {\sum\limits_{ {\rm{i}} = {\rm{1} } }^{\rm{n} } { { { {\rm{(} } { {\rm{x} }_{\rm{i} } } - { {\rm{\bar x}}}{\rm{)}} }^{\rm{2} } } } } } { { {\rm{n} } - {\rm{1} } } } } . \]
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for o seu valor, maior será a dispersão dos dados.
Por exemplo, os dois conjuntos de dados, que têm a mesma média (igual a 4,9),
\[ 4 \hspace{20px} 4,2 \hspace{20px} 4,5 \hspace{20px} 4,7 \hspace{20px} 4,8 \hspace{20px} 4,9 \hspace{20px} 5 \hspace{20px} 5,1 \hspace{20px} 5,5 \hspace{20px} 5,6 \hspace{20px} 6,1 \]
\[ 1 \hspace{20px} 2 \hspace{20px} 2,5 \hspace{20px} 4 \hspace{20px} 4,5 \hspace{20px} 5,5 \hspace{20px} 6 \hspace{20px} 6,4 \hspace{20px} 7 \hspace{20px} 7,5 \hspace{20px} 8 \]
têm desvio padrão, respetivamente 0,6 e 2,3.
Como se verifica, tanto visualmente como a partir dos valores obtidos para o desvio padrão, a dispersão do segundo conjunto de dados é muito superior à do primeiro conjunto.
Além da expressão anterior, por vezes também se utiliza a expressão
\[s' = \sqrt {\frac{ {\sum\limits_{ {\rm{i}} = {\rm{1} } }^{\rm{n} } { { { {\rm{(} } { {\rm{x}}_{\rm{i} } } - { {\rm{\bar x} } } {\rm{)} } }^{\rm{2} } } } } } { {\rm{n} } } } \]
quando a dimensão da amostra \(n\) é suficientemente grande (é usual considerar um valor de \(n\) superior a 30). Repare-se que nestas condições os valores de \(s'\) são muito próximos de \(s\), pois \(s'/s=\sqrt{(n-1)/n} \approx 1\).
Costuma-se utilizar o desvio padrão amostral, s, para estimar o desvio padrão populacional, \(\sigma\).
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