Fórmula Fundamental da Trigonometria

A Fórmula Fundamental da Trigonometria é uma consequência direta da aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da figura 1. Assim,

\((\mbox{hipotenusa})^2 = (\mbox{cateto oposto})^2+(\mbox{cateto adjacente})^2\)

Usando as letras da figura obtemos,

\(c^2=a^2+b^2\)

Dividindo ambos os membros da equação por \(a^2\neq 0\) concluímos, então, que \(1=\displaystyle \left(\frac{a} {c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = \sin^2\alpha+\cos^2\alpha \), isto é,


\[\qquad \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\qquad\]


Figura 1 - Triângulo Retângulo

Outras relações

Considerando agora a divisão das razões trigonométricas

No exemplo ao lado podemos verificar mais algumas relações trigonométricas, neste caso, entre os dois ângulos agudos do triângulo retângulo representado, \(\alpha\) e \(\beta\).

Resulta facilmente do facto da soma dos ângulos internos de um triângulo ser \(180º\) que \(\alpha+\beta=90º\).


Como se mostra na figura:

\[\sin\alpha=\displaystyle\frac{a}{c}=\cos\beta=\cos(90º-\alpha)\qquad\] \[\qquad\sin\alpha = \cos(90º-\alpha)\qquad\]
\[\cos\alpha=\displaystyle\frac{b}{c}=\sin\beta=\sin(90º-\alpha)\qquad\] \[\qquad\cos\alpha = \sin(90º-\alpha)\qquad\]