Relações trigonométricas num triângulo retângulo
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- Faculdade de Ciências da Universidade do Porto
Referência Tavares, J.N., (2013) Relações trigonométricas num triângulo retângulo, Rev. Ciência Elem., V1(1):023
DOI http://doi.org/10.24927/rce2013.023
Palavras-chave trigonométricas, triângulo; retângulo;
Resumo
Razões trigonométricas
Seja \(\alpha\) um ângulo agudo \((0<\alpha<90º)\) de um triângulo retângulo, como se mostra na figura, podemos definir as três razões trigonométricas como:
\(\sin\alpha =\displaystyle \frac{\mbox{comprimento do cateto oposto} } {\mbox{comprimento da hipotenusa} } = \frac{a}{c}\)
\(\cos\alpha =\displaystyle \frac{\mbox{comprimento do cateto adjacente} } {\mbox{comprimento da hipotenusa} } = \frac{b}{c}\)
\(\tan\alpha =\displaystyle \frac{\mbox{comprimento do cateto oposto} } {\mbox{comprimento do lado adjacente} } = \frac{a}{b}\)
Fórmula Fundamental da Trigonometria
A Fórmula Fundamental da Trigonometria é uma consequência direta da aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da figura 1. Assim,
\((\mbox{hipotenusa})^2 = (\mbox{cateto oposto})^2+(\mbox{cateto adjacente})^2\)
Usando as letras da figura obtemos,
\(c^2=a^2+b^2\)
Dividindo ambos os membros da equação por \(a^2\neq 0\) concluímos, então, que \(1=\displaystyle \left(\frac{a} {c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = \sin^2\alpha+\cos^2\alpha \), isto é,
\[\qquad \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\qquad\]
Outras relações
Considerando agora a divisão das razões trigonométricas \(\sin\alpha\) e \(\cos\alpha\) obtemos, \(\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = {\Large\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}}=\frac{a}{b}=\tan\alpha \), isto é,
\[\quad\tan\alpha=\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\qquad\] |
Olhando novamente para a fórmula fundamental da trigonometria, \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), e aplicando a ambos os membros da mesma uma divisão por \(\,\cos^2\alpha\,\) obtemos mais uma relação trigonométrica:
\[\qquad\tan^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha}\qquad\] |
No exemplo a cima podemos verificar mais algumas relações trigonométricas, neste caso, entre os dois ângulos agudos do triângulo retângulo representado, \(\alpha\) e \(\beta\).
Resulta facilmente do facto da soma dos ângulos internos de um triângulo ser \(180º\) que \(\alpha+\beta=90º\).
Como se mostra na figura:
\[\sin\alpha=\displaystyle\frac{a}{c}=\cos\beta=\cos(90º-\alpha)\qquad\] | \[\qquad\sin\alpha = \cos(90º-\alpha)\qquad\] |
\[\cos\alpha=\displaystyle\frac{b}{c}=\sin\beta=\sin(90º-\alpha)\qquad\] | \[\qquad\cos\alpha = \sin(90º-\alpha)\qquad\] |
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