Notas

A superfície cónica definida por \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\) tem o vértice na origem de um referencial tridimensional, ortonormado (em relação ao qual se definiu a equação) e é simétrica em relação aos planos coordenados.


Figura 1. Superfície cónica definida pela equação \[\frac{x^2} {4}+\frac{y^2}{9}-\frac{z^2} {25}=0\].

Observe-se ainda que as equações (canónicas) \(\frac{x^2} {a^2}-\frac{y^2} {b^2}+\frac{z^2} {c^2}=0\) ou \(\frac{x^2} {a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2} {c^2}=0\) ou etc. (no primeiro membro, dois coeficientes com um sinal e o terceiro com sinal diferente) também representam superfícies cónicas de vértice em \( O\), apesar de terem outro eixo.

Atendendo a que a equação inicial da superfície cónica \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 \) se pode escrever na forma \( z^2=c^2\left(\frac{x^2} {a^2}+\frac{y^2} {b^2}\right) \) ou ainda na forma equivalente \( z=\pm\sqrt{c^2\left(\frac{x^2} {a^2}+\frac{y^2} {b^2}\right)}\), cada uma destas equações \(z=\sqrt{c^2\left(\frac{x^2} {a^2}+\frac{y^2} {b^2}\right)}\) e \(z=-\sqrt{c^2\left(\frac{x^2} {a^2}+\frac{y^2} {b^2}\right)}\) define uma hemisuperfície cónica, respetivamente, a superior e a inferior (relativamente ao plano coordenado \( XOY\)).


Figura 2. Hemisuperfícies cónicas definidas, respetivamente, pelas equações \(z^2=\sqrt{c^2\left(\frac{x^2} {a^2}+\frac{y^2} {b^2}\right)}\) e \(z^2=-\sqrt{c^2\left(\frac{x^2} {a^2}+\frac{y^2} {b^2}\right)}\).

As secções paralelas ao plano coordenado \( XOY\) são elipses (circunferências quando \( a=b\), caso em que se tem um cone de revolução ou cone circular reto) definidas por \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=k\).

As secções planas paralelas aos outros planos coordenados são hipérboles definidas por \( \frac{x^2} {a^2}-\frac{z^2} {c^2}=k\) ou \( \frac{y^2} {b^2}-\frac{z^2} {c^2}=k\).


Materiais relacionados disponíveis na Casa das Ciências:


  1. Cónicas, de Michael R. Gallis.