Por outras palavras, uma sucessão $(u_n)$,de números reais, é uma progressão aritmética se e só se a diferença entre dois termos consecutivos é constante. Esta constante $r$ é a razão:

$u_2-u_1=u_3-u_2= \cdots = u_n-u_{n-1} = \cdots = r$

Daqui se conclui que:

$\displaystyle u_2=\frac{u_1+u_3}{2},\quad u_3=\frac{u_2+u_4}{2},\cdots , u_n=\frac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}, \cdots$

Isto é, cada termo é a média aritmética dos dois termos vizinhos imediatos.

Exemplos:

• $1, 2, 3 , 4 , \cdots, n, \cdots$ é a progressão aritmética de razão $1$ e o $u_1 = 1$

• $\displaystyle \frac{1}{2}, 1,\frac{3}{2}, 2,\frac{5}{2}, \cdots, \frac{n}{2}, \cdots$ é a progressão aritmética de razão $\displaystyle \frac{1}{2}$ e o $\displaystyle u_1 = \frac{1}{2}$

Nota

Se considerarmos $r = 0$ obtemos a sucessão constante em que $u_1 = u_2 = \cdots = u_n = \cdots$

Como se calcula a soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão aritmética de razão $r$ ?

Seja $S_n=u_1+u_2+u_3+\cdots+u_{n-1} + u_n$ a soma pretendida dos $n$ primeiros termos. Note que:

$\begin{array}{111} u_1&=&u_1\\ u_2&=&u_1+r\\ u_3 &=& u_2+r = u_1+2r\\ &\vdots&\\ u_n &=& u_{n-1}+r = u_1+(n-1)r \end{array}$

Escrevemos agora a soma $S_n$ de duas formas:

$S_n=u_1+u_2+u_3+\cdots+u_{n-1} + u_n$

e

$S_n=u_n+u_{n-1}+u_{n-3}+\cdots+u_2 + u_1$

Somando termo a termo vem:

$\begin{array}{lll} 2S_n&=& (u_1+u_n)+(u_2+u_{n-1}) +\cdots+(u_{n-1}+u_2)+(u_n+u_1)\\ &=& (u_1+u_n)+(u_1+r+u_n-r) +\cdots+(u_n-r+u_1+r)+(u_n+u_1)\\ &=& (u_1+u_n)+(u_1 +u_n ) +\cdots+(u_n +u_1 )+(u_n+u_1)\\ &=& n(u_1+u_n) \end{array}$

Portanto:

$\displaystyle S_n= n\cdot \frac{u_1+u_n}{2}$

Substituindo $u_n=u_1+(n-1)r$ , obtemos uma outra fórmula para a soma:

$\displaystyle S_n= nu_1+r \cdot \frac{n(n-1)}{2}$

Exemplos:

• A soma dos $n$ primeiros termos da progressão aritmética $1, 2, 3 , 4 , \cdots, n, \cdots$ é $\displaystyle S_n= n\cdot \frac{1 + n}{2}$ ou $\displaystyle S_n= n \cdot 1 + r\cdot\frac{n(n+1)}{2}$. Em particular, $\displaystyle S_{100} = 1 + 2+ \cdots + 100 = 100 \cdot \frac{100 +1}{2} = 5050$.

Curiosidades

Conta-se que o matemático Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), com sete anos, respondeu ao seu professor, que pedira aos alunos que somassem os números inteiros de um a cem, logo que este acabara de enunciar a questão, chegando ao resultado com o seguinte raciocínio:

$\begin{array}{l} 1+100=101 \\ 2+99=101\\ 3+98=101 \\ \quad \quad \vdots \\ 100+1=101 \\ \end{array}$

logo, o resultado procurado é $\displaystyle 100 \times \frac{101}{2} = 5050$.