Tabelas de verdade
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- * CMUP/ Universidade do Porto
- ɫ CMUP/ Universidade do Porto
Referência Tavares, J., Geraldo, A., (2014) Tabelas de verdade, Rev. Ciência Elem., V2(3):216
DOI http://doi.org/10.24927/rce2014.216
Palavras-chave Tabelas; matemática;
Resumo
As tabelas de verdade são tabelas matemáticas usadas em Lógica para determinar o valor lógico de uma proposição composta, isto é, uma proposição que resulta de uma operação entre proposições simples. O valor lógico da proposição composta é assim determinado a partir dos valores lógicos já conhecidos das proposições simples, sendo por isso dependente dos mesmos.
De negação
O valor lógico da proposição \(\sim \mathcal{P}\) (também indicado por \(\neg \mathcal{P}\)) é dado em função do valor lógico da proposição \(\mathcal{P}\).
Por palavras: \(\color{green} {\color{green}\sim \mathcal{P}}\) é verdadeira quando \(\color{green} { \mathcal{P}}\) é falsa, e é falsa quando \(\color{green} {\mathcal{P}}\) é verdadeira.
Numa tabela:
\(\mathcal{P}\) | \(\sim \mathcal{P}\) |
V | F |
F | V |
De conjunção
O valor lógico da proposição \(\mathcal{P} \wedge \mathcal{Q}\) é dado em função do valor lógico das proposições \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\).
Por palavras: Uma proposição do tipo \(\color{green} {\mathcal{P} \wedge \mathcal{Q}}\) é verdadeira quando, e só quando, ambas as proposições, \(\color{green} {\mathcal{P}}\) e \(\color{green} {\mathcal{Q}}\) forem verdadeiras. Ou seja, a proposição \(\color{green} {\mathcal{P} \wedge \mathcal{Q}}\) é falsa quando pelo menos uma das proposições, \(\color{green} {\mathcal{P}}\) ou \(\color{green} {\mathcal{Q}}\), for falsa.
\(\mathcal{P}\) | \(\mathcal{Q}\) | \(\mathcal{P} \wedge \mathcal{Q}\) |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | F |
De disjunção
O valor lógico da proposição \(\mathcal{P} \vee \mathcal{Q}\) é dado em função do valor lógico das proposições \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\).
Por palavras: Uma proposição do tipo \(\color{green} {\mathcal{P} \vee \mathcal{Q}}\) é verdadeira quando, e só quando, pelo menos uma das proposições, \(\color{green} {\mathcal{P}}\) ou \(\color{green} {\mathcal{Q}}\), for verdadeira. Ou seja, a proposição \(\color{green} {\mathcal{P} \vee \mathcal{Q}}\) é falsa quando as duas proposições, \(\color{green} {\mathcal{P}}\) e \(\color{green} {\mathcal{Q}}\), forem ambas falsas.
Numa tabela:
\(\mathcal{P}\) | \(\mathcal{Q}\) | \(\mathcal{P} \vee \mathcal{Q}\) |
V | V | V |
V | F | V |
F | V | V |
F | F | F |
De implicação
O valor lógico da proposição \(\color{green} {\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}}\) é dado em função do valor lógico das proposições \(\color{green} {\mathcal{P}}\) e \(\color{green} {\mathcal{Q}}\).
Por palavras: Uma proposição do tipo \(\color{green} {\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}}\), que traduz o facto de a validade de \(\color{green} {\mathcal{P}}\) implicar a validade de \(\color{green} {\mathcal{Q}}\) é falsa quando e apenas quando a proposição \(\color{green} {\mathcal{P}}\) for verdadeira mas \(\color{green} {\mathcal{Q}}\) não o for.
Numa tabela:
\(\mathcal{P}\) | \(\mathcal{Q}\) | \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\) |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | V |
F | F | V |
De equivalência
As tabelas de verdade para a equivalência de proposições permitem determinar quando é que duas proposições \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\) são equivalentes do ponto de vista lógico. Mais uma vez, esse valor lógico é dado em função dos valores lógicos das proposições \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\).
Por palavras: \(\color{green} {\mathcal{P} \Leftrightarrow \mathcal{Q}}\) é verdadeira quando \(\color{green} {\mathcal{P}}\) e \(\color{green} {\mathcal{Q}}\) são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e é falsa quando \(\color{green} {\mathcal{P}}\) é verdadeira e \(\color{green} {\mathcal{Q}}\) é falsa, ou vice-versa.
\(\mathcal{P}\) | \(\mathcal{Q}\) | \(\mathcal{P} \Leftrightarrow \mathcal{Q}\) |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | V |
Usando as tabelas de verdade
Podemos usar as tabelas de verdade para mostrar por exemplo que:
\[\sim (\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}) \quad \Leftrightarrow \quad \mathcal{P} \wedge \sim(\mathcal{Q})\]
Construindo uma tabela de valores lógicos:
\(\mathcal{P}\) | \(\mathcal{Q}\) | \(\sim \mathcal{Q}\) | \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\) | \(\sim(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q})\) | \(\mathcal{P} \wedge \sim(\mathcal{Q})\) |
V | V | F | V | F | F |
V | F | V | F | V | V |
F | V | F | V | F | F |
F | F | V | V | F | F |
Portanto a negação de (se \(\mathcal{P}\) então \(\mathcal{Q}\)) é equivalente a (\(\,\mathcal{P}\) e não \(\mathcal{Q}\)).
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