Geometricamente:

Nota

• O conjugado de um número complexo cuja parte imaginária é nula (número real) é o próprio número, pois sendo $z=x$, temos $\bar{z}=x$.

• O conjugado de um número complexo cuja parte real é nula (imaginário puro), $z=iy$, é $\bar{z}=-iy$.

Se $z$ é um número complexo não nulo e $\theta = arg(z)$ tem-se, na forma trigonométrica,

$z =|z|\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$ e $\bar{z}=|z|\left(\cos\theta-i\sin\theta\right)$.

Como $|z|=|\bar{z}|$, $\sin\left(-\theta\right)=-\sin\theta$ (a função seno é ímpar) e $\cos\left(-\theta\right)=\cos\theta$ (a função cosseno é par), tem-se:

$\bar{z}=|z|\left(\cos\theta-i\sin\theta\right)$ = $\bar{z}=|\bar z|\left(\cos( -\theta) +i\sin(-\theta)\right)$,

pelo que $\left(-\theta\right)$ é um argumento de $\bar{z}$.

Nota

Caso se considere $\theta$ o argumento positivo mínimo do número complexo $z$, $\theta\in\left[0,\,2\pi\right[$, então, o argumento o argumento mínimo de $\bar{z}$ é $2\pi-\theta$.

Considerando, por exemplo, $z$ um número complexo do segundo quadrante, tem-se, geometricamente:

Se um número complexo $z$, não nulo, está expresso na forma exponencial $z=|z|\, e^{i\theta}$, onde $\theta=\arg(z)$, o seu conjugado $\bar{z}$,na forma exponencial, é $\bar{z}=|z|\, e^{-i\theta}$.

Em particular, o conjugado do número complexo $z=e^{ix}$, com $x\mathbb{\in R}$, é $\bar{z}=e^{-ix}$.

Propriedades

Para dois números complexos, $z$ e $w$, tem-se:

1. $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
2. $\overline{z.w}=\overline{z}.\overline{w}$
3. $\displaystyle \overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}$ se $w\neq0$
4. $\overline{\bar{z}}=z$
5. $z.\overline{z}=|\, z\,|^{2}$
6. $|\,\bar{z}\,|=|\, z\,|$
7. $\displaystyle Re\left(z\right)=\frac{z+\overline{z}}{2}$
8. $\displaystyle Im\left(z\right)=\frac{z-\overline{z}}{2i}$
9. $\arg\left(\bar{z}\right)=-\arg\left(z\right)+2k\pi\:,k\in\mathbb{Z}$ se $z \neq 0$