A figura 1 mostra uma circunferência de raio 1, e um polígono regular inscrito com \( n \) lados (na figura \(n = 5\)). \( s_{n} = AB = \) comprimento de um lado desse polígono. D bisseta o arco AB e portanto \( s_{2n} = AD = DB = \) comprimento de um lado de um polígono regular inscrito com \( 2n \) lados.

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ACD, retângulo em C, obtemos

\( s_{2n}^2=AD^2=AC^2+CD^2=AC^2+(OD-OC)^2=\left(\displaystyle \frac{s_n}{2}\right)^2+(1-OC)^2 \)

Uma segunda aplicação do teorema de Pitágoras, desta vez ao triângulo ACO, retângulo em C, dá

\( OC=\sqrt{OA^2-AC^2}= \sqrt{1- \left(\displaystyle \frac{s_n}{2}\right)^2} \)

Substituindo na primeira equação e fazendo alguns cálculos simples obtemos então (verifique)

\( s_{2n}=\sqrt{2-\sqrt{4-s_n^2}} \)

o que nos permite calcular \( s_{2n} \) à custa de \( s_{n} \).

Se agora fizermos \(n = 6 \) (um hexágono regular inscrito), sabemos que \( s_{6} = 1 \) (figura 2). Aplicando sucessivamente a fórmula anterior, e após alguns cálculos simples, vem que

\begin{eqnarray*} s_{12} &=& \sqrt{2-\sqrt{3}}\nonumber\\ s_{24} &=& \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\nonumber\\ s_{48} &=& \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\nonumber\\ s_{96} &=& \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}\nonumber \end{eqnarray*}

e assim sucessivamente.

O perímetro de um polígono regular de 96 lados, inscrito numa circunferência de raio 1, é pois igual a \( 96 \times s_{96} \) o que dá uma boa aproximação do perímetro dessa circunferência. Como

\( \pi=\displaystyle \frac{\mbox{perímetro de uma circunferência}}{\mbox{diâmetro dessa circunferência}} \)

obtemos a seguinte aproximação de \( \pi \)

\( \pi\approx 48 \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}\approx 3.14103 \approx 3\displaystyle \frac{10}{71} \)

Arquimedes repetiu o mesmo argumento, agora para uma sequência de polígonos regulares circunscritos de 6, 12, 24, 48 e 96 lados. O leitor poderá deduzir a fórmula seguinte (veja a figura 3 e as notações lá usadas):

\( S_{2n}=\displaystyle \frac{2\sqrt{4+S_n^2}-4}{S_n} \ \ \ \ \ \ \ \ (*) \)

Arquimedes começa mais uma vez com um hexágono, mas desta vez circunscrito (como na figura 4). Deduz então que \( S_6=2 \sqrt{3}/3 \) e, usando a fórmula de recorrência (*), obtém os valores de \( S_{12} \), \( S_{24} \), \( S_{48} \) e, finalmente, \( S_{96} \). Por aproximação, calcula então o perímetro de um polígono regular de 96 lados circunscrito à circunferência de raio 1, igual a \( 96\times S_{96} \) e, finalmente, dividindo esse perímetro por 2 (= ao diâmetro da circunferência de raio 1), obtém o valor aproximado de \( \pi \) (por excesso):

\( \pi\approx 3.14271\approx \displaystyle3\frac{1}{7} \)