Dados os acontecimentos A e B, com P(B)>0, diz-se que o acontecimento A é independente do acontecimento B, se a probabilidade de A se verificar é igual à probabilidade condicional de A se verificar, dado que B se verificou

P(A)=P(A|B)

ou seja, o facto de se saber que o acontecimento B se realizou, não altera a probabilidade de A se realizar.

Se o acontecimento A é independente do acontecimento B, então o acontecimento B é independente de A, se P(A)>0. Efetivamente, tendo em consideração a definição de probabilidade condicional, tem-se

P(B|A) \(=\frac{P(A∩B)}{P(A)}=\frac{P(B)P(A|B)}{P(A)}=\frac{P(B)P(A)}{P(A)}=\) P(B)

Assim, os acontecimentos A e B, com P(A)xP(B)>0, são independentes quando a ocorrência de um deles não altera a probabilidade da ocorrência do outro, ou seja:

P(A|B)=P(A) e P(B|A)=P(B)

Repare-se que se alguma das condições anteriores se verifica, da definição de probabilidade condicional vem que

P(A∩B)=P(A)xP(B)

A igualdade anterior costuma ser utilizada para definir a independência entre acontecimentos, dizendo-se que:

Dois acontecimentos A e B são independentes se e só se

P(A∩B)=P(A)xP(B)

Esta definição de independência, embora não seja tão intuitiva, é a que é utilizada de um modo geral, não sendo necessário impor restrições aos valores de P(A) e P(B). Por exemplo se P(A)=0, como A∩B⊆A, vem P(A∩B)≤P(A) e A é independente de qualquer outro acontecimento.

As duas definições de independência são equivalentes desde que se exija que P(A)xP(B)>0.

Exemplo – Considere-se uma caixa que contém 6 fichas de duas cores diferentes, numeradas de 1 a 3, conforme a figura junta:

Retira-se, ao acaso, uma ficha da caixa.

1. Qual a probabilidade de que seja uma ficha com o número 2? Uma vez que temos 6 fichas, das quais 2 têm o número 2, P(2)=P(retirar ficha com 2)=2/6=1/3
2. Depois de retirar a ficha, verificou que era verde. Qual a probabilidade de que tenha o número 2? Os acontecimentos Número da ficha e Cor serão independentes?
   Como agora temos a informação que a ficha é verde, pretende-se a probabilidade condicional de obter um 2, sabendo que a ficha é verde, ou seja, P(2|cor verde)= \(\frac{P(cor\, verde\, e\, ter\, o\, 2)}{P(cor\, verde)}=\frac{1/6}{3/6}=\frac{1}{3}\)
   Então, P(2|cor verde)=P(2)
   Se tivéssemos considerado qualquer dos outros números das fichas ou a cor amarela, obteríamos os mesmos resultados, ou seja,
   

   P(i|cor x)=P(i) para i=1, 2, 3 e x=amarela, verde

   donde concluímos que os acontecimentos Número da ficha e Cor são independentes.

Suponha agora que alterou a composição da caixa, de forma que agora tem 2 fichas verdes, numeradas de 1 a 2 e 4 fichas amarelas, numeradas de 1 a 4:

Retira-se, ao acaso, uma ficha da caixa.

1. Qual a probabilidade de que seja uma ficha com o número 2? Uma vez que temos 6 fichas, das quais 2 têm o número 2, P(2)=P=2/6=1/3
2. Depois de retirar a ficha, verificou que era verde. Qual a probabilidade de que tenha o número 2? Pensa que esta probabilidade é igual à calculada na alínea anterior? Os acontecimentos Número da ficha e Cor serão independentes?
   Como agora temos a informação que a ficha é verde, pretende-se a proba- bilidade condicional de obter um 2, sabendo que a ficha é verde, ou seja, P(2|cor verde)= \(\frac{P(cor\, verde\, e\, ter\, o\, 2)}{P(cor\, verde)}=\frac{1/6}{2/6}=\frac{1}{2}\)
   Repare-se que agora a informação adicional de que a ficha é verde, aumentou a probabilidade de a ficha ter o número 2. Agora os acontecimentos já não são independentes, pois P(2|cor verde)≠ P(2)

A independência de acontecimentos é uma propriedade que depende do modelo de Probabilidade que se introduziu no espaço de resultados, não sendo, portanto, uma propriedade dos acontecimentos. Consideremos o seguinte exemplo, adaptado de MURTEIRA ET AL (2012), página 82:

Dada uma moeda de um euro, não necessariamente “equilibrada” em que representamos por E a face Euro e N a face Nacional, consideremos o seguinte modelo de probabilidade para o fenómeno aleatório que consiste em verificar qual a face que fica voltada para cima após um lançamento da moeda

Resultado	E	N
Probabilidade	p	1-p

com 0 ≤ p ≤ 1.

Considerem-se os acontecimentos

A={EEE, EEN, ENE, NEE} e B={EEE, NNN}

associados com três lançamentos independentes da moeda. Como

P(EEE) = P(E)P(E)P(E) =p³, P(EEN) = P(E)P(E)P(N) = p² (1-p), etc., tem-se P(A) = p³ + 3p³ (1-p) e P(B) = p³ + (1-p)³

Pode-se mostrar que a igualdade P(A∩B)=P(A)P(B) só se verifica nos casos triviais p=0, p=1, e no caso simétrico, p=1/2. Assim, A e B podem ser ou não independentes, consoante a natureza da moeda, ou seja do valor de p que tenhamos considerado para o modelo de probabilidade anteriormente considerado.

Nota 1 – Dois acontecimentos não podem ser disjuntos (ou incompatíveis ou mutuamente exclusivos) e independentes, a não ser que um deles tenha probabilidade nula. Efetivamente se os acontecimentos A e B, com P(A)>0 e P(B)>0, são incompatíveis, não podem ser independentes, uma vez que P(A∩B)=P(∅)=0 e P(A)xP(B)>0, vindo P(A∩B)≠P(A)xP(B).

Nota 2 – É frequente fazer-se confusão com os conceitos de acontecimentos independentes e acontecimentos incompatíveis. No entanto estes conceitos exprimem relações completamente diferentes, na medida em que a incompatibilidade de acontecimentos é uma propriedade inerente aos acontecimentos, não sendo necessário ter definido nenhuma probabilidade, enquanto que a independência de acontecimentos depende do modelo de probabilidade que se tenha definido no espaço de resultados onde estão definidos os acontecimentos.