• Se o discriminante \(\Delta=b^2-4ac\) for negativo, a função quadrática não tem zeros e portanto ou é sempre positiva ou sempre negativa. Se \(a >0\) a função é positiva para \(x \in \mathbb{R}\), pelo contrário se o coeficiente \(a<0\) então a função é negativa em todo o seu domínio. Ver figura 1.

• Se \(\Delta>0\) a função tem dois zeros, respetivamente: \(x_1=(-b-\sqrt{\Delta})/2a\quad\) ; \(\quad x_2=(-b+\sqrt{\Delta})/2a \quad\) com \(x_1<x_2\). Neste caso, se \(a>0\) a função é positiva no intervalo \(]-\infty,x_1[ \, \cup \, ]x_2,+\infty[\) e negativa para \(x \in \, ]x_1,x_2[\). Já se \(a<0\) a função toma valores positivos para \(x \in \, ]x_1,x_2[\) e valores negativos no intervalo \(]-\infty,x_1[ \, \cup \, ]x_2,+\infty[\). Ver figura 2.

• Finalmente se \(\Delta=0\) a função quadrática possui um único zero em \(x=-b/2a\). Neste caso, se \(a>0\) a função é positiva em \(x \in \, \mathbb{R} \backslash \{-b/2a\}\). Já se \(a<0\), a função é negativa em \(x \in \, \mathbb{R} \backslash \{-b/2a\}\). Ver figura 3.

\(\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c=a\left[ \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2+ \frac{4ac-b^2}{4a^2} \right]\)

Considerando a soma da duas parcelas no interior dos parêntesis retos, verificamos que a primeira depende de \(x\) e é sempre positiva. A segunda parcela é constante. Portanto, o menor valor desta soma é atingido quando \(\displaystyle \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2\) é igual a zero, ou seja, quando \(x=-b/2a\). Neste ponto, \(f(x)\) também assume o seu valor mínimo. Concluímos assim que, quando \(a>0\) o menor valor (mínimo da função) assumido por \(f(x)\) é: \(f(-b/2a)=c-(b^2/4a)\).

Se \(a<0\), o valor \(f(-b/2a)\) é o maior dos números \(f(x)\) (máximo da função), para qualquer \(x \in \mathbb{R}\).

Quando \(a>0\), \(f(x)=ax^2+bx+c\) não assume valor máximo, é assim uma função ilimitada superiormente. Analogamente, quando \(a<0\), \(f(x)\) não assume valor mínimo sendo assim uma função ilimitada inferiormente.