Quando o ângulo do segmento é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido?

Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo do segmento é igual a metade do comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência.

Demonstração. Seja $OM$ o raio perpendicular à corda $AB$, intersectando-a no seu ponto médio. $M$ é o ponto médio do arco $AMB$. A tangente $AC$ a $\mathcal{C}$ em $A$, é perpendicular ao raio $OA$. Portanto, os ângulos $MOA$ e $BAC$ têm a mesma amplitude (são iguais). Pelo ponto anterior, o comprimento do arco $AM$ é igual ao produto do raio $r$ pela medida do ângulo ao centro $MOA$, em radianos. Daqui se conclui portanto que

$\displaystyle \mbox{arc}\ AMB =2 r\ \angle BAC$

onde $\angle BAC$ representa a medida (ou amplitude) do ângulo $\angle BAC$, em radianos, $\mbox{arc}\ AMB$ o comprimento do arco $AMB$, e $r$ é o raio da circunferência.

Quando o ângulo inscrito é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido?

Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo inscrito é igual a metade do comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência.

Demonstração. Consideremos a tangente $AD$ à circunferência, no ponto $A$. Esta tangente define dois ângulos de segmento e os respetivos arcos subentendidos - o ângulo $CAD$, que subentende o arco $AC$, a verde, e o ângulo $BAD$, que subentende o arco $BCA$. Mas (veja o applet)

$\mbox{arc}\ BC=\mbox{arc}\ BCA - \mbox{arc}\ CA$

Por outro lado, pelo ponto anterior, temos que

$\mbox{arc}\ BCA =2 r\ \angle BAD$ e $\mbox{arc}\ CA =2 r\ \angle CAD$

Portanto,

$\mbox{arc}\ BC=2 r\ (\angle BAD - \ \angle CAD)= 2r \ \angle BAC$

Quando o ângulo ex-inscrito $\alpha$ é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido?

Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo ex-inscrito é igual à semi-soma dos comprimentos dos arcos subentendidos pelos seus lados, dividida pelo raio da circunferência.

Demonstração. Do applet vemos que $\alpha=\gamma+\delta$. Pelo ponto anterior, sabemos que a medida do ângulo inscrito $\gamma$ é iguala a $\displaystyle \frac{1}{2r}\mbox{arc}\ AC$. Análogamente, a medida do ângulo inscrito $\delta$ é igual a $\displaystyle \frac{1}{2r}\mbox{arc}\ AB$, donde se conclui que

$\alpha= \gamma+\delta =\displaystyle \frac{1}{2r}\left(\mbox{arc}\ AB+\mbox{arc}\ AC\right)$

como se pretendia.

Teorema: A medida (em radianos) do ângulo $\alpha=BAC$ é igual à semi-soma dos comprimentos dos arcos subentendidos pelos seus lados e seus prolongamentos, dividida pelo raio da circunferência.

Demonstração. Temos que $\alpha=\beta+\gamma$ (veja o applet). Mas $\gamma=\displaystyle\frac{1}{2r} \mbox{arc} \ BC$, enquanto que $\beta=\displaystyle\frac{1}{2r} \mbox{arc} \ DE$.

Somando, obtemos o que se pretende.

Teorema: A medida (em radianos) do ângulo $\alpha=BAC$ é igual à semi-diferença dos comprimentos dos arcos maior e menor, subentendidos pelos seus lados, dividida pelo raio da circunferência.

Demonstração. Temos que $\beta=\alpha+\gamma$ (veja o applet), o que implica que $\alpha=\beta-\gamma$. Mas $\beta=\displaystyle\frac{1}{2r} \mbox{arc} \ BC$, enquanto que $\gamma=\displaystyle\frac{1}{2r} \mbox{arc} \ DE$.

Subtraindo, obtemos o que se pretende, isto é

$\alpha= \displaystyle\frac{1}{2r} \left(\mbox{arc} \ BC -\mbox{arc} \ DE \right)$.