Ângulo do segmento

Seja \(\mathcal{C}\) uma circunferência de raio \(r>0\), centrada num ponto \(O\). O ângulo do segmento é um dos ângulos formado por uma corda e pela tangente a \(\mathcal{C}\) numa das extremidades dessa corda. Por exemplo o ângulo \(BAC\) assinalado no applet. Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência \(\mathcal{C}\) (no exemplo, o arco \(AMB\) a vermelho).

Quando o ângulo do segmento é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido?

Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo do segmento é igual a metade do comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência.

Demonstração. Seja \(OM\) o raio perpendicular à corda \(AB\), intersectando-a no seu ponto médio. \(M\) é o ponto médio do arco \(AMB\). A tangente \(AC\) a \(\mathcal{C}\) em \(A\), é perpendicular ao raio \(OA\). Portanto, os ângulos \(MOA\) e \(BAC\) têm a mesma amplitude (são iguais). Pelo ponto anterior, o comprimento do arco \(AM\) é igual ao produto do raio \(r\) pela medida do ângulo ao centro \(MOA\), em radianos. Daqui se conclui portanto que

\(\displaystyle \mbox{arc}\ AMB =2 r\ \angle BAC \)

onde \(\angle BAC\) representa a medida (ou amplitude) do ângulo \(\angle BAC\), em radianos, \(\mbox{arc}\ AMB\) o comprimento do arco \(AMB\), e \(r\) é o raio da circunferência.

Ângulo inscrito

Seja \(\mathcal{C}\) uma circunferência de raio \(r>0\), centrada num ponto \(O\). Um ângulo inscrito é o ângulo formado por duas cordas de \(\mathcal{C}\), que partilham um vértice comum, situado sobre a circunferência. Por exemplo, o ângulo \(BAC\) assinalado no applet, formado pelas duas cordas \(BA\) e \(CA\). Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência \(\mathcal{C}\) (no exemplo, o arco \(BC\), a vermelho).

Quando o ângulo inscrito é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido?

Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo inscrito é igual a metade do comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência.

Demonstração. Consideremos a tangente \(AD\) à circunferência, no ponto \(A\). Esta tangente define dois ângulos de segmento e os respetivos arcos subentendidos - o ângulo \(CAD\), que subentende o arco \(AC\), a verde, e o ângulo \(BAD\), que subentende o arco \(BCA\). Mas (veja o applet)

\(\mbox{arc}\ BC=\mbox{arc}\ BCA - \mbox{arc}\ CA \)

Por outro lado, pelo ponto anterior, temos que

\(\mbox{arc}\ BCA =2 r\ \angle BAD\) e \(\mbox{arc}\ CA =2 r\ \angle CAD\)

Portanto,

\(\mbox{arc}\ BC=2 r\ (\angle BAD - \ \angle CAD)= 2r \ \angle BAC \)

Ângulo ex-inscrito

Seja \(\mathcal{C}\) uma circunferência de raio \(r>0\), centrada num ponto \(O\). Um ângulo ex-inscrito é um ângulos formado por uma corda \(BA\) e pelo prologamento \(AD\) de uma outra corda \(CA\), contígua à primeira. Por exemplo o ângulo \(\alpha=BAD\) assinalado no applet. Os lados deste ângulo determinam, ou subentendem, dois arcos da circunferência \(\mathcal{C}\)(no exemplo, o arco \(BA\)) a verde e o arco \(AC\) a cor de laranja.

Quando o ângulo ex-inscrito \(\alpha\) é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido?

Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo ex-inscrito é igual à semi-soma dos comprimentos dos arcos subentendidos pelos seus lados, dividida pelo raio da circunferência.

Demonstração. Do applet vemos que \(\alpha=\gamma+\delta\). Pelo ponto anterior, sabemos que a medida do ângulo inscrito \(\gamma\) é iguala a \(\displaystyle \frac{1}{2r}\mbox{arc}\ AC\). Análogamente, a medida do ângulo inscrito \(\delta\) é igual a \(\displaystyle \frac{1}{2r}\mbox{arc}\ AB\), donde se conclui que

\(\alpha= \gamma+\delta =\displaystyle \frac{1}{2r}\left(\mbox{arc}\ AB+\mbox{arc}\ AC\right) \)

como se pretendia.

Ângulos cujo vértice não pertence à circunferência

Vértice interior

Consideremos o ângulo \(\alpha=BAC\), determinado por duas cordas que se intersectam num ponto \(A\), interior à circunferência. O ângulo subentende o arco \(BC\) (a verde no applet), e os prolongamentos dos lados de \(\alpha\) determinam o arco \(DE\) (a castanho no applet).

Teorema: A medida (em radianos) do ângulo \(\alpha=BAC\) é igual à semi-soma dos comprimentos dos arcos subentendidos pelos seus lados e seus prolongamentos, dividida pelo raio da circunferência.

Demonstração. Temos que \(\alpha=\beta+\gamma\) (veja o applet). Mas \(\gamma=\displaystyle\frac{1}{2r} \mbox{arc} \ BC\), enquanto que \(\beta=\displaystyle\frac{1}{2r} \mbox{arc} \ DE\).

Somando, obtemos o que se pretende.

Vértice exterior

Consideremos o ângulo \(\alpha=BAC\), determinado por duas secantes à circunferência que se intersectam num ponto \(A\), exterior a ela. O ângulo subentende dois arcos - um maior, o arco \(BC\) (a verde no applet), e um menor, o arco \(DE\) (a azul no applet).

Teorema: A medida (em radianos) do ângulo \(\alpha=BAC\) é igual à semi-diferença dos comprimentos dos arcos maior e menor, subentendidos pelos seus lados, dividida pelo raio da circunferência.

Demonstração. Temos que \(\beta=\alpha+\gamma\) (veja o applet), o que implica que \(\alpha=\beta-\gamma\). Mas \(\beta=\displaystyle\frac{1}{2r} \mbox{arc} \ BC\), enquanto que \(\gamma=\displaystyle\frac{1}{2r} \mbox{arc} \ DE\).

Subtraindo, obtemos o que se pretende, isto é

\(\alpha= \displaystyle\frac{1}{2r} \left(\mbox{arc} \ BC -\mbox{arc} \ DE \right)\).

Outras situações com tangência

Usando métodos análogos aos anteriores, o leitor pode formular e demonstrar os resultados relativos às duas situações ilustradas nos dois applets ao lado.