Exemplos

Vamos ver o seu significado nas seguintes expressões:

(∀n∈Z)(∃k∈Z):n=2k que se lê para todo o n pertencente a Z, existe pelo menos um k pertencente a Z tal que n=2k

Esta proposição diz que todo o número inteiro é par, o que é evidentemente falso.

(∃n∈Z)(∃k∈Z):n=2k que se lê existe n pertencente a Z e existe pelo menos um k pertencente a Z tal que n=2k

Esta proposição diz que existe um número n par, o que é verdadeiro!

Como negar proposições com os quantificadores?

Vejamos exemplos simples do quotidiano:

Afirmação Negação
Todas as maças são verdes. Existe pelo menos uma maça que não é verde.
Existe uma folha seca. Todos as folhas estão molhadas.

Em matemática podemos ter por exemplo:

Afirmação: (∀x∈R:f(x)>5) Negação: (∃x∈R:f(x)≤5)
Afirmação: (∃y>0:0<g(y)≤1) Negação: (∀y>0:g(y)≤0∨g(y)>1)

Portanto existe dois tipos de proposições a negar, sendo elas:

  • ∀x∈SP(x) é válida ou abreviadamente ∀x∈S,P(x);
  • ∃x∈S tal que P(x) é válida ou abreviadamente ∃x∈S:P(x).

A negação de (para todo x∈S a proposição P(x) é válida) é (existe pelo menos um x∈S tal que a negação de P(x) é válida).

A negação de (existe pelo menos um x∈S tal que P(x) é válida) é (para todo o x∈S, é válida a negação de P(x)).

Simbolicamente escrevemos,

∼(∀x∈S,P(x))⟺(∃x∈S:∼P(x))
∼(∃x∈S:P(x))⟺(∀x∈S,∼P(x))

Ver também