São exemplos de proposições:

  • A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º;
  • Todo o número inteiro é par;
  • \(\sqrt{2}>1\);
  • Não há nenhum número primo maior do que \(2^{1000000}\).

Já as seguintes afirmações não são proposições:

  • Que horas são?;
  • Vai-te embora!;
  • \(x^2<8\);
  • \(a^2+b^2=c^2\).

As duas últimas afirmações não são proposições pois não sabemos o que é \(x\), nem \(a,b\) ou \(c\).

Operações com proposições

Tal como em aritmética existem operações que permitem combinar ou modificar números, tais como \(+, \times\), etc, em lógica existem também operações que permitem combinar ou modificar proposições. As principais operações são:

  • não - Se \(\mathcal{P}\) é uma proposição escreve-se simbolicamente \(\sim \mathcal{P}\) para a proposição não \(\mathcal{P}\). A proposição \(\sim \mathcal{P}\) será a negação da proposição \(\mathcal{P}\).
  • e - Se \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\) são duas proposições, escreve-se simbolicamente \(\mathcal{P} \wedge \mathcal{Q}\) para a proposição \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\). A proposição \(\mathcal{P} \wedge \mathcal{Q}\) será a conjunção das proposições \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\). Neste caso estamos a considerar que \(\mathcal{P} \wedge \mathcal{Q}\) é verdadeira apenas quando \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\) são simultaneamente verdadeiras.
  • ou - Escreve-se simbolicamente \(\mathcal{P} \vee \mathcal{Q}\) para a proposição \(\mathcal{P}\) ou \(\mathcal{Q}\). A proposição \(\mathcal{P} \vee \mathcal{Q}\) será assim a disjunção das proposições \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\). Neste caso estamos a considerar que \(\mathcal{P} \vee \mathcal{Q}\) é falsa apenas quando \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\) são ambas falsas.
  • se ... então - Simbolicamente \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\) designa a proposição se \(\mathcal{P}\) então \(\mathcal{Q}\), que também se pode ler \(\mathcal{P}\) implica \(\mathcal{Q}\). Na proposição \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\) consideramos que a veracidade da proposição \(\mathcal{P}\) implica a veracidade da proposição \(\mathcal{Q}\).

Recíproco de uma proposição

A proposição recíproca de uma proposição inicial deduz-se dessa proposição permutando-se a hipótese com a tese. Portanto, o recíproco de uma proposição do tipo \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\) é a proposição \(\mathcal{Q} \Rightarrow \mathcal{P}\).

Atenção - a proposição \(\mathcal{Q} \Rightarrow \mathcal{P}\) não é logicamente equivalente à proposição \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\), pois é possível que uma certa implicação seja falsa e, no entanto, o seu recíproco ser verdadeiro.

No caso de uma proposição, \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\), e o seu recíproco, \(\mathcal{Q} \Rightarrow \mathcal{P}\), serem simultaneamente verdadeiras então é verdadeira a proposição que estabelece a equivalência, \(\mathcal{P} \Leftrightarrow \mathcal{Q}\), que se pode ler como \(\mathcal{P}\) se e somente se \(\mathcal{Q}\).

Exemplos

Considerando as seguintes proposições:

[1] se \(n\) é um inteiro, então \(2n\) é par.

[2] posso dar aulas só se tiver uma licenciatura.

[3] o carro não funciona sempre que não tenha gasolina.

[4] continuidade é uma condição necessária para diferenciabilidade.            

O seu recíproco será:

[1] se \(2n\) é par, então \(n\) é um inteiro.

[2] se tenho uma licenciatura, então posso dar aulas.

[3] se o carro não funciona, então não tem gasolina.

[4] se uma função for contínua, então é diferenciável.

Ver também