Por exemplo, no caso ilustrado no applet

a2=b2+c2−2bccosα

                     

Eis a demonstração. Considere o triângulo ABC. Seja h a medida da altura relativa ao vértice C (veja o applet ao lado). O triângulo ADC é retângulo em D, e daí que (teorema de Pitágoras).

b2=h2+AD2⟹h2=b2−AD2

Analogamente, o triângulo BDC é retângulo em D, e daí que (teorema de Pitágoras).

a2=h2+(BD)2⟹h2=a2−BD2=a2−(c−AD)2

Igualando as duas expressões obtemos

b2−AD2=a2−(c−AD)2=a2−c2−AD2+2cAD

e atendendo a que AD=bcosα, vem finalmente que

a2=b2+c2−2bccosα

que é a chamada lei dos cossenos.

É importante notar que AD tem sinal positivo quando D está à direita de A, e tem sinal negativo quando D está à esquerda de A (relativamente ao sentido de A para B).

Uma aplicação

Dados

  • dois círculos no plano, de raios e centros conhecidos, digamos C1=C(z1,R1) e C2=C(z2,R2), que não se intersectam. Portanto, usando notações complexas |z1−z2|>R1+R2
  • um terceiro círculo C=C(z,R) do qual apenas se conhece o raio R.

Problema: calcular as posições do centro z de tal forma a que C seja tangente aos dois círculos dados C1 e C2.

Uma aplicação da lei dos cossenos
Figura 1 - Uma aplicação da lei dos cossenos

z=z1+(R+R1)z2−z1|z2−z1|e±iα

onde o ângulo α é determinado pela lei dos cossenos, aplicada ao triângulo de vértices z1,z2 e z:

a2=b2+c2−2bccosα

onde

a=R+R2,   b=R+R1,  c=|z2−z1|