Método de redução ao absurdo
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- * Faculdade de Ciências da Universidade do Porto
- ɫ CMUP/ Universidade do Porto
Referência Tavares, J.N., Geraldo, A., (2017) Método de redução ao absurdo, Rev. Ciência Elem., V5(4):085
DOI http://doi.org/10.24927/rce2017.085
Palavras-chave redução ao absurdo, número irracional
Resumo
O método de prova por redução ao absurdo
O método de redução ao absurdo é um método de prova matemática para validar se uma proposição do tipo:
\(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\)
é verdadeira.
Consiste no seguinte argumento: supômos que \(\mathcal{Q}\) é falsa e provamos que então \(\mathcal{P}\) também o é. Como? Em geral derivando uma "contradição" ou um "absurdo", isto é, algo incompatível com a veracidade assumida de \(\mathcal{P}\).
Exemplos
\(\sqrt{2}\) é um número irracional
Usando o método de redução ao absurdo provar que:
\( \sqrt{2}\ \ \mbox{é um número irracional} \)
Note que isto pode ser posto na forma se ... então , ..., pondo se \(\sqrt{2}\) é um número então \(\sqrt{2}\) é irracional.
Suponho que \(\sqrt{2}\) é um número racional e derivo uma contradição ou um absurdo.
Mas o que é um número racional? - é um número da forma \(\displaystyle\frac{m}{n}\) com \(m,n\in \mathbb{Z},\, n\neq 0\). De facto, e este é um elemento essencial na prova, podemos sempre supôr que a fracção \(\displaystyle\frac{m}{n}\) é irredutível, isto é, que não existe qualquer inteiro \(\neq 1\) que divide simultâneamente \(m\) e \(n\).
Agora a prova prossegue sem dificuldade:
- suponho que \(\sqrt{2}\) é um número racional, isto é, que \(\sqrt{2} =\displaystyle\frac{m}{n}\), com \(m,n\in \mathbb{Z},\, n\neq 0\) e a fracção \(\displaystyle\frac{m}{n}\) irredutível.
- então \(2=\displaystyle\frac{m^2}{n^2}\) e portanto:
\(m^2=2n^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ............... \ \ \ \ \ \ \ \ (*)\)
o que significa que \(m^2\) é par.
- \(m^2\) sendo par, \(m\) também tem que ser par. Porquê? porque se \(m\) fosse ímpar também \(m^2\) o seria (prove isto).
- logo existe um inteiro \(k\in \mathbb{Z}\) tal que \(m=2k\)
- substituindo na equação (*) vem que \((2k)^2=2n^2\), isto é, \(n^2=2k^2\), o significa que \(n^2\) é par.
- sendo \(n^2\) par \(n\) é também par
- concluímos pois que \(m\) e \(n\) são ambos pares, isto é, são ambos divisíveis por 2.
- mas isto é absurdo porque suposémos a fracção \(\displaystyle\frac{m}{n}\) irredutível.
QED
Um outro
Utilizemos agora o método de redução ao absurdo para provar que:
Se \(a\), \(b\) e \(c\) números inteiros ímpares então a equação quadrática \(ax^2+bx+c=0\) não possui raízes racionais.
Suponhamos que \(p/q\) é uma raiz racional da equação acima, com \(p\) e \(q\) primos entre si. Assim,
\(\displaystyle a\left(\frac{p}{q}\right)^2 +b\left(\frac{p}{q}\right)+c=0 \, \Longrightarrow \, ap^2+bpq+cq^2=0\)
- Se \(p\) e \(q\) são ímpares, então \(ap^2+bpq+cq^2\) também é ímpar, portanto não nulo e daí que \(p/q\) não seja solução da equação quadrática referida;
- Se \(p\) é par e \(q\) é ímpar, então \(ap^2\) é par, \(bpq\) é par e \(cq^2\) é ímpar e portanto não nulo. Analogamente, se \(p\) é ímpar e \(q\) é par, \(ap^2+bpq+cq^2\) é ímpar e assim não nulo;
Verificamos que \(ap^2+bpq+cq^2\) não se anula nestas condições. Portanto, chegamos a uma contradição pois \(p/q\) não é uma raiz da equação quadrática \(ax^2+bx+c=0\) com \(a\), \(b\) e \(c\) números ímpares.
A contradição resultou do facto de termos suposto que esta equação tinha raízes racionais. Logo, a equação \(ax^2+bx+c=0\) com \(a\), \(b\) e \(c\) números inteiros ímpares não tem raízes racionais.
QED
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