Um outro tipo de forças é, também, familiar: a força centrífuga, experimentada por um observador em rotação, seja no interior do automóvel que curva, seja no carrocel da feira de diversões. A força centrífuga tem, porém, uma origem diferente das anteriores: ela só é sentida por um observador não inercial e, portanto, ela é consequência, e não causa, do movimento desse observador. É um exemplo das chamadas forças inerciais, tal como a força que nos empurra para trás quando acelera o carro ou nos atira para a frente quando trava bruscamente. As bases de lançamento de foguetões estão localizadas tão próximo quanto possível do equador para tirar partido da maior força centrífuga. A base da ESA situa-se na Guiana Francesa e a da NASA está na Florida.


FIGURA 1. Experiência Zero-g a bordo de um Airbus A300. (fonte: ESA).

Menos conhecida é a força de Coriolis que experimentamos se nos movermos no interior de um corpo em rotação, como num autocarro que curva ou num carrocel da feira. A Terra, porque roda, não é um sistema inercial e, portanto, as forças inerciais desempenham um papel importante, explicando o desvio predominante de ventos num sentido, no hemisfério norte, e no sentido contrário, no hemisfério sul; na rotação do plano de oscilação de um pêndulo (Foucault); no funcionamento de girocompassos mecânicos, etc.

As forças de inércia são, frequentemente, designadas por pseudo-forças porque existem para o observador não inercial, mas não existem para o observador inercial; por exemplo, a aparente ausência de peso a bordo de um satélite é, para nós, que o observamos da Terra, consequência de tanto o satélite como o astronauta, no seu interior, seguirem trajetórias paralelas; mas, para o astronauta, ela resulta do cancelamento da força de atração gravítica pela força centrífuga.

Mesmo que a soma das forças (conhecida por resultante) seja nula, a soma dos seus momentos1 pode não se anular: o caso típico, designado por binário, é o de um par de forças iguais, em grandeza, paralelas e de sentidos opostos. Sentimos esse binário quando abrimos uma torneira ou apertamos um parafuso. A rotação da roda do automóvel ou do disco duro do computador são possíveis porque um motor lhes comunica momentos; a agulha da bússola gira para indicar o norte, porque o campo magnético terrestre exerce um binário sobre o material magnético da agulha; a eletricidade é produzida nas barragens ou nos aerogeradores porque bobinas são obrigadas a rodar, por ação de um binário, na presença de magnetos.

É o atrito que nos faz caminhar ou faz mover um automóvel. O atrito desenvolve-se entre o solo e o nosso pé ou entre pavimento e a roda, opondo-se ao movimento desta; ora, o movimento da roda é a sobreposição da translação do automóvel com a rotação da própria roda. Sendo a velocidade da rotação maior que a da translação (no arranque), a força de atrito tem a direção do movimento do automóvel, e opondo-se-lhe no caso contrário (na travagem). Se diminuir o atrito, porque há água ou óleo na estrada, o automóvel desliza, podendo não diminuir a velocidade mesmo que se trave.

As forças gravitacionais do Sol sobre as diferentes partes da Terra têm uma resultante que origina o movimento de translação em torno do Sol; em relação a essa resultante, as forças são maiores na parte mais próxima do Sol e menores na parte mais afastada. Essas diferenças (conhecidas por forças de marés), também originadas pela Lua, são causa direta das marés, não só da componente fluida (ar e água) como da componente sólida (em muito menor amplitude); mas devido ao atrito, originado por esses movimentos relativos, surge um pequeno binário que vai travando a rotação do planeta. O Sol já travou a rotação de Vénus e a Terra já travou a rotação da Lua por isso, esta, para nós, apresenta sempre a mesma face.

O conceito moderno de força radica na noção de campo, seja ele o campo gravítico ou eletromagnético, os mais conhecidos, ou os campos de forças fracas e fortes responsáveis, respetivamente, pela desintegração do neutrão ou pela coesão do núcleo. Forças como o atrito ou viscosidade resultam do tratamento estatístico de forças de natureza elétrica atuando sobre muitos átomos e em escalas microscópicas.

As forças inerciais têm uma origem completamente distinta. Para se perceber, deve começar-se por relembrar o 1º Princípio de Newton - um corpo livre (isto é, infinitamente afastado de todos os outros) tem um movimento retilíneo e uniforme. Daqui decorre que se um corpo é livre para um observador inercial, então também é livre para outro observador que, em relação ao primeiro, tenha um movimento uniforme e retilíneo. Isto é, todos os observadores inerciais são equivalentes. O 1º Princípio é, assim, uma afirmação de grande simetria e simplicidade e, na verdade, ele não é alterado pela teoria da relatividade restrita. Por outro lado, é óbvio que um tal corpo não tem aquele movimento para todos os observadores: estrelas distantes rodam em torno da Terra, mas atribuímos aquele movimento à rotação da Terra. Elaborando um pouco mais, designamos por observadores inerciais aqueles para quem o 1º princípio é verificado - portanto, observadores na Terra não são inerciais. Ora, é, apenas, para os observadores inerciais que se aplica o 2º princípio de Newton, i.e., um corpo deixa de ser livre e, portanto, deixa de ter movimento uniforme e retilíneo, por ação de forças originadas em campos. Deste modo, a 2ª lei de Newton escreve-se \(\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}\), i.e., a aceleração do corpo para um observador inercial é a força (conhecida) atuando sobre o corpo, dividida pela massa do corpo.

Considere-se, agora, um observador não inerciai (será notado por O), dotado de um sistema de eixos com versores \(\overrightarrow{i'(t)},\overrightarrow{j'(t)},\overrightarrow{k'(t)}\) que, em geral, dependem do tempo, para o observador inercial, se tal sistema de eixos tiver rotação. Um qualquer corpo terá, para tal observador, uma velocidade e uma aceleração que serão notadas por uma plica. É fácil estabelecer a relação destas grandezas com as mesmas grandezas definidas para o observador inicial. Começando pela posição instantânea do corpo, tem-se:


\(\overrightarrow{r(t)}=\overrightarrow{r'(t)}+\overrightarrow{r_O(t)}\)                     (1)


O 1º membro estabelece a posição do corpo em relação ao observador inercial; no 2º membro, \(\overrightarrow{r_O(t)}\) denota a posição do observador não inercial em relaçao ao inercial; e \(\overrightarrow{r'(t)}=x'(t)\overrightarrow{i'(t)}+y'(t)\overrightarrow{j'(t)}+z'(t)\overrightarrow{k'(t)}\). Note-se, aqui, quer as coordenadas do corpo considerado quer os versores dos eixos usados pelo observador não inercial, dependem do tempo: o corpo move-se em relação a este observador e este pode rodar em relação ao inercial. Se o corpo não se mover em relação aos observador O (não inercial), diremos que está rigidamente ligado a ele.

Derivando a eq. (1) em ordem ao tempo, obtemos a relação entre as velocidades:


\(\overrightarrow{v(t)}=\overrightarrow{v'(t)}+\overrightarrow{\omega(t)}\times \overrightarrow{r'(t)}+\overrightarrow{v_O(t)}\)                     (2)


Aqui, o sinal × denota produto vetorial; e


\(\overrightarrow{v'(t)}=ẋ'(t)\dot{\overrightarrow{i'(t)}}+ẏ'(t)\dot{\overrightarrow{j'(t)}}+ż'(t)\dot{\overrightarrow{k'(t)}}\)


é a velocidade do corpo em relação ao observador não inercial (o ponto significa derivada em ordem ao tempo); \(\overrightarrow{\omega(t)}\) é a velocidade de rotação instantânea do referencial não inercial (em relação ao inercial), sendo definida pelas equações:


\(\frac{d}{dt}\overrightarrow{i'(t)}=\overrightarrow{\omega(t)}\times\overrightarrow{i'(t)}\)


\(\frac{d}{dt}\overrightarrow{j'(t)}=\overrightarrow{\omega(t)}\times\overrightarrow{j'(t)}\)


\(\frac{d}{dt}\overrightarrow{k'(t)}=\overrightarrow{\omega(t)}\times\overrightarrow{k'(t)}\)


Tal resulta de \(\overrightarrow{i'(t)},\overrightarrow{j'(t)},\overrightarrow{k'(t)}\) serem versores, pelo que as suas diferenciais são perpendiculares aos respetivos versores. É óbvio que se os eixos do observador O não rodarem, então os seus versores serão independentes do tempo e \(\overrightarrow{\omega(t)}\)= 0. Nesta caso, a eq. (2) reduz-se à lei de adição de velocidades de Galileu. Finalmente, \(\overrightarrow{v_o(t)}\) é a velocidade do observador não inercial (a origem do seu sistema de eixos) em relação ao observador inercial. Coletivamente, a soma \(\overrightarrow{\omega(t)}\times\overrightarrow{r'(t)}+\overrightarrow{v_o(t)}\) é designada por velocidade de transporte - seria a velocidade do corpo se rigidamente ligado ao observador, pelo que é a expressão da velocidade de um ponto genérico de um sólido rígido.

Uma nova derivação, em ordem ao tempo, da eq. (2) conduz-nos à relação entre as acelerações:


\(\overrightarrow{a(t)}=\overrightarrow{a'(t)}+2\overrightarrow{\omega(t)} \times \overrightarrow{v'(t)}+\overrightarrow{\omega(t)}\times (\overrightarrow{\omega(t)}\times\overrightarrow{r'(t)})+\overrightarrow{ \dot{ {\overrightarrow{\omega} }(t)} }\times\overrightarrow{r'(t)}+\overrightarrow{a_O(t)}\)                     (3)


onde:

\(\overrightarrow{a'(t)}\)á a aceleração do corpo em relação ao observador O (não inercial);

\(2\overrightarrow{\omega(t)} \times \overrightarrow{v'(t)}\) é designada por aceleração de Coriolis - só existe se o corpo se mover, em relação a O, e o sistema de eixos deste observador tiver rotação em relação ao observador inercial;

\((\overrightarrow{\omega(t)}\times\overrightarrow{r'(t)})\) é a aceleração centrípeta, reduzindo-se a \( -\omega(t)^2\overrightarrow{r'_p(t)} \), \( \overrightarrow{r'_p(t)}\) sendo a componente de \(\overrightarrow{r'(t)}\) perpendicular a ω(t), i.e., ao eixo de rotação;

\(\overrightarrow{a_O(t)}\)é a aceleração do observador não inercial O em relação ao inercial.

Coletivamente, a soma \( \overrightarrow{\omega(t)}\times (\overrightarrow{\omega(t)}\times\overrightarrow{r'(t)})+\overrightarrow{\dot{ {\overrightarrow{\omega} }(t)}}\times\overrightarrow{r'(t)}+\overrightarrow{a_O(t)}\) é designada por aceleração de transporte - seria a aceleração do corpo se rigidamente ligado ao observador e, portanto, será a aceleração de um ponto genérico de um sólido.

Podemos, agora, regressar à 2ª lei de Newton, substituindo, no 1º membro, a aceleração \(\overrightarrow{a(t)}\) pela expressão obtida, eq. (3). Resolvendo em ordem a \(\overrightarrow{a'(t)}\), obtemos:


\(\overrightarrow{a'(t)}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}-2\overrightarrow{\omega(t)}\times \overrightarrow{v'(t)}-\overrightarrow{\omega(t)}\times(\overrightarrow{\omega(t)} \times\overrightarrow{r'(t)})-\overrightarrow{\dot{ {\overrightarrow{\omega} }(t)}}\times\overrightarrow{r'(t)}-\overrightarrow{a_O(t)}\)                     (4)


Mas agora, olhando para esta equação, podemos reinterpreta-lo como uma 2ª lei de Newton na qual, para além das forças \(\overrightarrow{F}\), surgem devidas aos campos, surgem novas forças originadas por o observador O não ser inercial. Tais forças são coletivamente designadas por forças fictícias ou, preferencialmente, forças de inércia \(\overrightarrow{Fi}\):


\(\overrightarrow{Fi}=-m\left[\overrightarrow{2\omega(t)}\times\overrightarrow{v'(t)}+\overrightarrow{\omega(t)} \times(\overrightarrow{\omega(t)}\times\overrightarrow{r'(t)})+\overrightarrow{ \dot{ {\overrightarrow{\omega} }(t)}}\times\overrightarrow{r'(t)}+\overrightarrow{a_O(t)}\right]\)                     (5)


No 2º membro, o 1º termo é a força de Coriolis. Os outros três termos são coletivamente designados for forças de transporte, reconhecendo-se a força centrífuga no 2º termo. Para aplicações na Terra, e para escalas de tempo inferiores a vários milhares de anos (período de precessão do eixo da Terra), o 3º termo é desprezável. Assim, se na força \(\overrightarrow{F}\) for considerada, separadamente, a atração gravitacional da Terra, m\(\overrightarrow{G}\), como se esta estivesse parada, então esta contribuição adicionada aos 3º e 4º termos na eq. (5), escreve-se na forma mais conhecida, i.e., \(m\overrightarrow{g}\), onde, portanto, \(\overrightarrow{g}\) leva em conta não só a atração gravitacional como o efeito da força centrífuga, originando, assim, a variação da aceleração da gravidade com a latitude.

Note-se que as forças de inércia são proporcionais à massa, tal como o peso, e, por isso, são modernamente chamadas por forças gravíticas, designação que se entenderá melhor quando for discutida a teoria da relatividade geral.

Um exemplo simples: suponha-se que se larga um corpo do alto da torre dos Clérigos (altura h=70m). Considere-se o seguinte sistema de eixos: o eixo z tem a direção e sentido contrário à vertical do lugar \(\overrightarrow{(g)}\) que se pode determinar com um fio de prumo; o eixo x é tangente ao meridiano e aponta para Sul; e o eixo y é tangente ao paralelo, apontando para Este. Se se ignorar a força de Coriolis, um corpo largado livremente cai com movimento uniformemente acelerado \(z=h -\frac{1}{2}g t^2\) e, portanto, a sua velocidade, em qualquer instante, é: \(v_z = - gt\).

Sendo λ ≈ 45° a latitude do lugar, o vetor rotação instantanea da Terra, com a direção e sentido do eixo da Terra e grandeza \(\omega \approx \frac{2\pi}{24*3600}s^{-1}\), faz um ângulo \(\frac{\pi}{2}\)-λ com o eixo z. Assim, a força de Coriolis tem, nesta 1ª aproximação, a direção e sentido do eixo y, i.e., aponta para Este, resultando:


\(\frac{d^2}{dt^2}y=2\omega \cos\)λ gt


Uma 1ª integração dá-nos a velocidade para Este (lembrando que o corpo é abandonado com velocidade nula):


\(\frac{d}{dt}y=\omega \cos\)λ gt2


E nova integração dá o desvio para Este:


\(y=\frac{1}{3}\omega \cos\)λ gt3


Assim, para os valores numéricos indicados, quando o corpo atinge o solo, t= \(\sqrt{\frac{2h}{g}}\)≈ 3.7 s, o seu desvio para Este foi y ≈ 9 mm.

Para maiores alturas de queda, o cálculo exato revela que a trajetória do grave é helicoidal.



1O momento de uma força, em relação a um ponto (polo do momento) é o produto da força pela distância do ponto à reta sobreposta à força. Não confundir com momento linear ou, quantidade de movimento, o produto da massa pela velocidade.