Diferencial
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- Faculdade de Ciências da Universidade do Porto
Referência Tavares, J.N., (2018) Diferencial, Rev. Ciência Elem., V6(1):088
DOI http://doi.org/10.24927/rce2018.088
Palavras-chave Diferencial
Resumo
Dada uma função \(\displaystyle f:D\subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) «», suponha que existe a derivada de f num ponto a, interior ao domínio de f. Considere os pontos \(\displaystyle A(a,f(a))\) e \(\displaystyle B(a+h,f(a+h))\) e, com \(\displaystyle h\neq 0\), ambos sobre o gráfico de f, e a recta que os une.
Qual a equação cartesiana desta recta?
Como se sabe da geometria analítica plana, a equação da recta que une os pontos A e B é:
\(\displaystyle y-f(a)=\frac{f(a+h)}{(a+h)-a}(x-a)\)
ou:
\(\displaystyle y=f(a)+ \Delta_af(h)\, (x-a)\)
Portanto o declive desta recta, isto é, a tangente do ângulo positivo que esta recta faz com a parte positiva do eixo dos xx, é igual à taxa média de variação de f em a.
Qual a posição limite desta recta quando \(\displaystyle h\to 0\)?
Quando \(\displaystyle h\to 0\) a taxa média de variação de f em a, \(\displaystyle \Delta_af\),converge para a taxa instantânea de variação de f em a, isto é, converge para a derivada f'(a) de f em a (supondo que esta existe).
Portanto a recta que une A e B tem uma posição limite que não é mais do que a recta tangente ao gráfico de f no ponto \(\displaystyle A=(a,f(a))\). A respectiva equação é obtida a partir da equação anterior em , fazendo \(\displaystyle h\to 0\):
\(\displaystyle y=f(a)+ f'(a) (x-a)\)
O declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto \(\displaystyle A=(a,f(a))\), é pois igual à derivada \(\displaystyle f'(a)\) de f em a.
Considere ainda os pontos seguintes:
\(\displaystyle B=(a+h,f(a+h))\), no gráfico de f e \(\displaystyle B'=(a+h,f(a)+f'(a)\,h)\), na recta tangente ao gráfico de f no ponto \(\displaystyle A(a,f(a))\)
A diferença das ordenadas destes dois pontos é igual a:
\(\displaystyle f(a+h)- [f(a)+f'(a)\,h]\)
e esta diferença é cada vez mais pequena quanto mais próximo de 0 estiver o "acréscimo" h. Neste sentido podemos pois dizer que o valor exacto é aproximadamente igual a \(\displaystyle f(a)+f'(a)\,h\), sendo esta aproximação cada vez mais precisa quanto mais pequeno é o valor de h:
\(\displaystyle f(a+h) \approx f(a)+ f'(a)h\)
Mais concretamente: se definirmos o erro \(\displaystyle e(a;h)\) através da diferença:
\(\displaystyle e(a;h) \doteq f(a+h)- [f(a)+ f'(a)h ]\)
podemos dizer que:
\(\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{e(a;h)}{h}=0\)
Diz-se então que o erro \(\displaystyle e(a;h)\) é um infinitésimo de ordem superior a h.
A diferencial da função f no ponto a, é a função \(\displaystyle df_a:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) que a cada acréscimo \(\displaystyle h \in \mathbb{R}\) associa o valor
\(\displaystyle df_a\doteq f'(a)\cdot h\). É pois uma função linear em \(\displaystyle h\) - de facto a função linear que melhor aproxima f em a, no sentido em que:
\(\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac {(f(a+h)-f(a))- df_a(h)}{h}=0\)
que não é mais do que a versão formal do que se disse antes, e que se presta a generalização.
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